三角形的“五心”及其性质

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三角形的“五心”及其性质

三角形的五心 定义及性质

三角形各心及性质是什么？

三角形五心的五心的性质

一、三角形的“五心”及其性质

三角形的重心

三角形的重心是三角形三边中线交点。其性质很多，下面仅给出六条性质：

三角形的垂心

三角形的垂心是三角形三条高所在直线交点。如下图，垂心可以在三角形内部，直角顶点或外部。

垂心性质也有很多，给出以下三条

三角形内心

三角形的内心是三角形三角平分线交点，是三角形内切圆的圆心。

三角形的外心

三角形的外心是三边中垂线交点，垂心是三角形外接圆的圆心。

三角形的旁心

三角形的旁心是三角形一内角平分线和两外角平分线交点，旁心是三角形旁切圆圆心。

一、三角形的五心 定义及性质

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

三角形的性质

1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12.等底同高的三角形面积相等。

13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

二、三角形各心及性质是什么？

五心性质：

（一）重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。

（二）外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：（ （c2+c3）/2c，（c1+c3）/2c，（c1+c2）/2c ）

5、外心到三顶点的距离相等。

三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混

重心记忆口诀

三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．

外心记忆口诀

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．

以上内容参考：

三、三角形五心的五心的性质

一、三角形的五心定义：
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
二、五心性质：
（一）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。
（二）外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三顶点的距离相等。
（三）垂心的性质：
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.
（四）内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。
（五）旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。