初中数学知识点：三角形的性质定理，掌握这些内容有助于灵活解题

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初中数学知识点：三角形的性质定理，掌握这些内容有助于灵活解题

初二三角形知识点总结

初中三角形数学知识点总结

初中数学三角形知识点总结

一、初中数学知识点：三角形的性质定理，掌握这些内容有助于灵活解题

三角形的性质定理包括这五部分内容，分别是适用于所有三角形的性质定理、等腰三角形的性质定理、等边三角形的性质定理、直角三角形的性质定理、全等三角形的性质定理。

适用于所有三角形的性质定理

三角形的内角和定理及其推论：任意一个三角形的三个内角的和为180度，外角和为360度。三角形的任意一个外角等于不相邻的两个内角的和。

三角形的边长关系：一个三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两条腰长相等，两个底角相等。

三线合一性质定理：等腰三角形的底边上的高是底边上的中线，还是顶角的角平分线，也就是说等腰三角形的底边上的高、底边上的中线与顶角的角平分线是重合的。

等边三角形的性质定理

等边三角形的三条边长相等，三个角相等且都是60度。

等边三角形的每条边上的高线是这条边上的中线，也是这条边所对应的角的角平分线。

直角三角形的性质定理

直角三角形中，两个非直角互余。

直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半。

直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么，这条直角边所对的角为30度。

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

全等三角形的性质定理

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

全等三角形的面积相等，对应角的角平分线相等、对应边上的高和中线相等。（这个结论可以用于选择、填空题，但不能直接用于证明题，需要写出证明过程）

结语

三角形的性质定理是初中数学的重要知识点，同学们只有牢固掌握这些性质定理，才能轻松求解三角形的相关题型。

一、初二三角形知识点总结

初二三角形知识点总结

　　数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题.从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得。下面是我整理的关于初二三角形知识点总结，欢迎大家参考!

　　【1】初二三角形知识点总结

　　1.知识概念

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

　　2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

　　3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

　　6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

　　7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

　　8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

　　9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

　　10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

　　11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

　　12.公式与性质

　　三角形的内角和：三角形的内角和为180°

　　三角形外角的性质：

　　性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

　　性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

　　多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

　　多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

　　(2)n边形共有 条对角线。

　　为大家带来的初中数学知识点归纳之三角形，相信热爱数学的朋友们对三角形的知识要领都已经熟记于心了吧，接下来的初中数学知识更加有吸引力。

　　【2】初二三角形知识点总结

　　一、轴对称图形

　　1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

　　2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

　　3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

　　4.轴对称的性质

　　①关于某直线对称的两个图形是全等形。

　　②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

　　二、线段的垂直平分线

　　1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

　　2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

　　3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

　　三、用坐标表示轴对称小结：

　　在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

　　2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

　　四、(等腰三角形)知识点回顾

　　1.等腰三角形的性质

　　①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)

　　②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)

　　2、等腰三角形的判定：

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)

　　五、(等边三角形)知识点回顾

　　1.等边三角形的性质：

　　等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。

　　2、等边三角形的判定：

　　①三个角都相等的三角形是等边三角形。

　　②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

　　3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　1、等腰三角形的性质

　　(1)等腰三角形的性质定理及推论：

　　定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)

　　推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

　　推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

　　(2)等腰三角形的其他性质：

　　①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

　　②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。

　　③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

　　④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

　　2、等腰三角形的判定

　　等腰三角形的判定定理及推论：

　　定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

　　推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

　　推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

　　推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　等腰三角形的性质与判定

　　等腰三角形性质

　　等腰三角形判定

　　中线

　　1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角;

　　2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

　　1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;

　　2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形

　　角平分线

　　1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;

　　2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

　　1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)，那么这个三角形是等腰三角形;

　　2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

　　高线

　　1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;

　　2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

　　1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形;

　　2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

　　角

　　等边对等角

　　等角对等边

　　边

　　底的一半<腰长<周长的一半

　　两边相等的三角形是等腰三角形

　　4、三角形中的中位线

　　连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

　　(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

　　(2)要会区别三角形中线与中位线。

　　三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

　　三角形中位线定理的作用：

　　位置关系：可以证明两条直线平行。

　　数量关系：可以证明线段的倍分关系。

　　常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

　　结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

　　结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

　　结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

　　结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

　　结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

　　第十四章 整式乘除与因式分解

　　一.回顾知识点

　　1、主要知识回顾：

　　幂的运算性质：

　　am·an=am+n (m、n为正整数)

　　同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

　　= amn (m、n为正整数)

　　幂的乘方，底数不变，指数相乘.

　　(n为正整数)

　　积的乘方等于各因式乘方的积.

　　= am-n (a≠0，m、n都是正整数，且m>n)

　　同底数幂相除，底数不变，指数相减.

　　零指数幂的概念：

　　a0=1 (a≠0)

　　任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.

　　负指数幂的概念：

　　a-p= (a≠0，p是正整数)

　　任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数.

　　也可表示为：(m≠0，n≠0，p为正整数)

　　单项式的乘法法则：

　　单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

　　单项式与多项式的乘法法则：

　　单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

　　多项式与多项式的乘法法则：

　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

　　单项式的除法法则：

　　单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

　　多项式除以单项式的法则：

　　多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

　　2、乘法公式：

　　①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

　　文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

　　②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.

　　3、因式分解：

　　因式分解的定义.

　　把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

　　掌握其定义应注意以下几点：

　　(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;

　　(2)因式分解必须是恒等变形;

　　(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

　　弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.

　　因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.

　　二、熟练掌握因式分解的常用方法.

　　1、提公因式法

　　(1)掌握提公因式法的概念;

　　(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;

　　(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.

　　(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.

　　2、公式法

　　运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;

　　常用的公式：

　　①平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b)

　　②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

　　a2-2ab+b2=(a-b)2

　　第十五章 分式

　　知识点一：分式的定义

　　一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

　　知识点二：与分式有关的条件

　　①分式有意义：分母不为0()

　　②分式无意义：分母为0()

　　③分式值为0：分子为0且分母不为0()

　　④分式值为正或大于0：分子分母同号(或)

　　⑤分式值为负或小于0：分子分母异号(或)

　　⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)

　　⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)

　　知识点三：分式的基本性质

　　分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

　　字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

　　拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

　　注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

　　知识点四：分式的约分

　　定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

　　步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

　　注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

　　②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

　　知识点四：最简分式的定义

　　一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

　　知识点五：分式的通分

　　① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

　　② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

　　最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

　　确定最简公分母的'一般步骤：

　　Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;

　　Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;

　　Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。

　　Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。

　　注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

　　知识点六分式的四则运算与分式的乘方

　　① 分式的乘除法法则：

　　分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

　　分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

　　② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

　　③ 分式的加减法则：

　　同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

　　异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

　　整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

　　④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

　　先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

　　注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

　　加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。

　　知识点六整数指数幂

　　① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即

　　科学记数法

　　若一个数x是0的数，则可以表示为(，即a的整数部分只有一位，n为整数)的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=

　　若一个数x是x>10的数则可以表示为(，即a的整数部分只有一位，n为整数)的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=

　　知识点七分式方程的解的步骤

　　⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

　　⑵解整式方程，得到整式方程的解。

　　⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

　　如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

　　产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。

　　知识点八列分式方程

　　基本步骤

　　① 审—仔细审题，找出等量关系。

　　② 设—合理设未知数。

　　③ 列—根据等量关系列出方程(组)。

　　④ 解—解出方程(组)。注意检验

　　⑤ 答—答题。

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二、初中三角形数学知识点总结

初中三角形数学知识点总结

　　初中数学中，三角形是学习的重点，那么初中三角形数学知识点又有什么呢?初中三角形数学知识点总结是我为大家带来的，希望对大家有所帮助。

　　初中三角形数学知识点总结

　　第一部分： 点 、线 、角

　　一 、 线

　　1、直线 2、射线 3、线段

　　二、角

　　1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

　　另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

　　2.角的平分线

　　3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分;1分=60秒。

　　4. 角的分类：(1)锐角 (2)直角 (3)钝角 (4)平角 (5)周角

　　5. 相关的角：

　　(1)对顶角 (2)互为补角 (3)互为余角

　　6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

　　注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

　　7、角的性质

　　(1)对顶角相等 (2)同角或等角的余角相等 (3)同角或等角的补角相等。

　　三、相交线

　　1、斜线 2、两条直线互相垂直 3、垂线，垂足

　　4、垂线的性质

　　(l)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

　　(2)垂线段最短。

　　四、距离

　　1、两点的距

　　2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

　　3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

　　五、平行线

　　1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

　　说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

　　2、平行线的判定：

　　(1)同位角相等，两直线平行。

　　(2)内错角相等，两直线平行。

　　(3)同旁内角互补两直线平行。

　　3、平行线的性质

　　(1)两直线平行，同位角相等。

　　(2)两直线平行，内错角相等。

　　(3)两直线平行，同旁内角互补。

　　说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

　　4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.

　　5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_________________.

　　第二部分：三角形

　　知识点：

　　一、关于三角形的一些概念

　　1、三角形的角平分线。

　　三角形的角平分线是一条线段(顶点与内角平分线和对边交线间的距离)

　　三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)

　　2、三角形的中线

　　三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)

　　三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)

　　3.三角形的高

　　三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)

　　注意：三角形的'中线和角平分线都在三角形内。

　　三角形

　　而图2-3，说明高线不一定在 △ABC内，

　　三角形

　　图2—3—(1) 图2—3—(2) 图2-3一(3)

　　图2-3—(1)，中三条高线都在△ ABC内，

　　图2-3-(2)，中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边;

　　图2-3一(3)，中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。

　　二、三角形三条边的关系

　　三角形三边都不相等，叫不等边三角形;有两条边相等的叫等腰三角形;三边都相等的则叫等边三角形。

　　等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

　　三角形分类

　　按接边相等关系来分类：

　　三角形分类

　　用集合表示

　　三角形分类

　　推论三角形两边的差小于第三边。

　　不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

　　例如三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

　　三、三角形的内角和

　　定理三角形三个内角的和等于180°

　　由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

　　推论1：直角三角形的两个锐角互余。

　　三角形按角分类：

　　三角形分类

　　用集合表示

　　三角形

　　三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

　　推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

　　推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　三角形

　　∠1 >∠3;∠1=∠3+∠4;∠5>∠3+∠8;∠5=∠3+∠7+∠8;

　　∠2>∠8;∠2=∠7+∠8;∠4>∠9;∠4=∠9+∠10等等。

　　四、全等三角形

　　能够完全重合的两个图形叫全等形。

　　两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

　　全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

　　全等三角形

　　五、全等三角形的判定

　　1、边角边公理：“SAS”

　　注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

　　2、角边角公理：ASA 3、AAS 4、SSS

　　3、直角三角形全等的判定：斜边，直角边”或HL

　　三角形的重要性质：三角形的稳定性。

　　六、角的平分线

　　定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

　　定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

　　可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)

　　七、等腰三角形的判定

　　定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。(简写成“等角对等动”)。

　　推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

　　推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

　　推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　八、勾股定理

　　勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：

　　勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：

　　那么这个三角形是直角三角形

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三、初中数学三角形知识点总结

初中数学中，三角形是必考考点，而有关三角形的知识点也有很多，下面我整理了相关初中数学三角形知识点，供大家参考。

一、三角形的有关概念

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高

(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

二、等腰三角形的性质和判定

（1）性质

1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

（2）判定

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

三、直角三角形和勾股定理

有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半；30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。

勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

勾股数一定是正整数，常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10,；7,24,25；8,15,17；9,12,15。

方法总结：

当不明确直角三角形的斜边长，应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。翻折题型常用勾股定理（口诀：翻折求边找直角，勾股定理设未知量）

如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理，常用于判断三角形的形状，先确定最大边（可以设为c）。

四、初中三角形中线定理

中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

中线的定义：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

五、直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

六、勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

七、三角形定理公式

三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和。

三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的三条角平分线交于一点（内心）。

三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。

三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。