初中数学：角平分线的性质，搞懂了就是为中考加分

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初中数学：角平分线的性质，搞懂了就是为中考加分

角平分线的定义，以及性质

直角三角形的角平分线的性质

角的平分线的性质的内容是什么

一、初中数学：角平分线的性质，搞懂了就是为中考加分

初中数学：角平分线的性质，搞懂了就是为中考加分！

角平分线的性质：

如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图，即PB=PA

为什么呢？

我们一起求证一下。

以OP为轴，反折，得OA=OB

在△BOP和△AOP中

OA=OB

∵∠BOP=∠AOP

OP=OP,

∴△BOP≌△AOP（SAS）

∴PB=PA

当我们做题时，当知道在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等时，在题中不需要证明为什么相等？这是角平分线的性质。

我们看看例题：

【例2】（1）证明：三角形的三个角的角平分线交于一点。

证明三个角交于一点，是比较难的，但两条不平行的直线是交于一点。

如图：OA是∠A的平分线，OB是∠B的平分线，它们不平行，即它们是会交于一点O。若∠C的角平分线OC也交于O点，那么三角形的三个角的角平分线就交于一点了。

实际上，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠5=∠6.

既然是角平分线，那么我们先用角平分线的性质来解题，看是否可以解答。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

所以分别做OP⊥AB,ON⊥BC,OM⊥AC，垂足分别为P,N,M点

在△APO和△AMO中

∠1=∠2

∠APO=∠AMO=90°

AO=AO

∴△APO≌△AMO（AAS）

∴OP=OM

同理△BPO≌△BNO（AAS）

∴OP=ON

∴OM=ON

在△COM和△CON中

∠CNO=∠CMO=90°

OM=ON

CO=CO

∴△COM≌△CON（HL）

∴∠5=∠6

∴三角形的三个角的角平分线交于一点

一、角平分线的定义，以及性质

角平分线的定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线。

角平分线的性质：

1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

扩展资料

角平分线是天然的、涉及对称的特征，一般情况下，有下列三种基本结构：

1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；

2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一 边；

3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等．

三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

二、直角三角形的角平分线的性质

直角三角形的角平分线的性质：

“第一点是角平分线将此角分为一对等角，第二点是在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心；从一个角的顶点引出一条射线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”

判定定理

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。

三、角的平分线的性质的内容是什么

角的平分线的性质

重点：角的平分线的性质的证明及应用；

难点：角的平分线的性质的探究.　

探究一：角的平分线的作法

已知：∠MAN 求作：∠MAN的角平分线.

作法：

（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.

（2）分别以B、D为圆心，1/2BD大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.

（3）画射线AC.

∴射线AC即为所求.

探究二：角的平分线的性质

符号语言：

∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）

∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

（1）角的平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

（2）角的平分线性质的证明步骤：

① 明确命题中的已知和求证;

已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等.

②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;

③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.

已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.

求证: PD=PE.

证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)

∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)

在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO

∠AOC= ∠BOC

OP=OP （公共边）

∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）

∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）