一个我们几乎每天都在使用的数学工具

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一个我们几乎每天都在使用的数学工具

数学在生活中的运用有哪些例子

世界上最早使用的计算工具是什么？

同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知

一、一个我们几乎每天都在使用的数学工具

贝叶斯原理

及其推断简介

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什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理的应用。英国数学家托马斯贝叶斯（Thomas Bayes）在1793年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断的修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有在计算机诞生之后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。

2

贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断，必须先了解贝叶斯定理。后者实际上就是计算”条件概率“的公式。

所谓”条件概率“，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚的看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(AB)除以P(B)。

因此，

所以，

即

这就是条件概率的计算公式。

3

全概率公式

由于后面要用到，所以除了条件概率值之外，这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S，是两个事件A和A'的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分为两个部分。

即

在上一节的推导当中，我们已知

所以，

这就是全概率公式。它的含义是：如果A和A‘构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

4

贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

我们把P(A)称为”先验概率“，即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为”后验概率“，即在事件B发生之后，我们队A事件的重新评估。P(B|A)/P(B)称为”可能性函数“，这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解为下面的式子：

后验概率＝先验概率 ｘ 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率“，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是消弱了”先验概率“，由此得到更接近事实的”后验概率“。

在这里，如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)>1，意味着”先验概率“增强，事件A的发生的可能性变大；如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)=1，意味着B事件无助于事件A的可能性；如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)<1，意味着”先验概率“被消弱，事件A发生的可能性变小。

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【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看下面两个例子。

两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，再取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率叫做”先验概率“，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多少？即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做”后验概率“，即在事件E发生之后，对P(H1)的修正。

根据条件概率公式，得到：

已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式：

所以，将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

6

【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系密切。

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。

根据条件概率公式，

用全概率公式改写分母：

将数字代入，

我们得到一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率：也只从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的“假阳性”，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高和发病率低有关。

本文由超级数学建模编辑整理

本文来源于阮一峰的网络日志

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一、数学在生活中的运用有哪些例子

比如工艺上的灯泡规格形状的几何计算
足球彩票中的赔率盘口统计
家居中的灯光覆盖面积要求计算
学数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。
我曾看见过这样的一个报道：一个教授问一群外国学生：“12点到1点之间，分针和时针会重合几次？”那些学生都从手腕上拿下手表，开始拨表针；而这位教授在给中国学生讲到同样一个问题时，学生们就会套用数学公式来计算。评论说，由此可见，中国学生的数学知识都是从书本上搬到脑子中，不能灵活运用，很少想到在实际生活中学习、掌握数学知识。
从这以后，我开始有意识的把数学和日常生活联系起来。有一次，妈妈烙饼，锅里能放两张饼。我就想，这不是一个数学问题吗？烙一张饼用两分钟，烙正、反面各用一分钟，锅里最多同时放两张饼，那么烙三张饼最多用几分钟呢？我想了想，得出结论：要用3分钟：先把第一、第二张饼同时放进锅内，1分钟后，取出第二张饼，放入第三张饼，把第一张饼翻面；再烙1分钟，这样第一张饼就好了，取出来。然后放第二张饼的反面，同时把第三张饼翻过来，这样3分钟就全部搞定。
我把这个想法告诉了妈妈，她说，实际上不会这么巧，总得有一些误差，不过算法是正确的。看来，我们必须学以致用，才能更好的让数学服务于我们的生活。
数学就应该在生活中学习。有人说，现在书本上的知识都和实际联系不大。这说明他们的知识迁移能力还没有得到充分的锻炼。正因为学了不能够很好的理解、运用于日常生活中，才使得很多人对数学不重视。希望同学们到生活中学数学，在生活中用数学，数学与生活密不可分，学深了，学透了，自然会发现，其实数学很有用处。

二、世界上最早使用的计算工具是什么？

计算器的起源和发展　　说起计算器，值得我们骄傲的是，最早的计算工具诞生在中国．
中国古代最早采用的一种计算工具叫筹策，又被叫做算筹．这种算筹多用竹子制成，也有用木头，兽骨充当材料的．约二百七十枚一束，放在布袋里可随身携带．
直到今天仍在使用的珠算盘，是中国古代计算工具领域中的另一项发明，明代时的珠算盘已经与现代的珠算盘几乎相同．

17世纪初，西方国家的计算工具有了较大的发展，英国数学家纳皮尔发明的"纳皮尔算筹"，英国牧师奥却德发明了圆柱型对数计算尺，这种计算尺不仅能做加减乘除、乘方、开方运算，甚至可以计算三角函数，指数函数和对数函数，这些计算工具不仅带动了计算器的发展，也为现代计算器发展奠定了良好的基础，成为现代社会应用广泛的计算工具．

1642年，年仅19岁的法国伟大科学家帕斯卡引用算盘的原理，发明了第一部机械式计算器，在他的计算器中有一些互相联锁的齿轮，一个转过十位的齿轮会使另一个齿轮转过一位，人们可以像拨电话号码盘那样，把数字拨进去，计算结果就会出现在另一个窗口中，但是只能做加减计算。1694年，莱布尼兹在德国将其改进成可以进行乘除的计算。此后，一直要到1950年代末才有电子计算器的出现。

三、同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知

（1）30°×4=120°；

（2）分针转过4×30°=120°，
时针转过

20

60

×30°=10°；
故答案为：（1）120；（2）120°，10°；

（3）设8点x分钟时出发，下午2点y分钟回到学校，
则（12-1）×

x

60

×30°=8×30°，
解得x=

480

11

≈44，
（12-1）×

y

60

-2×30°=180°，
解得y=

480

11

≈44，
所以，共用6小时（8：44出发，2：44回校）．