幂函数的概念，新课标只要求掌握给出的5种幂函数

内容导航：

幂函数的概念，新课标只要求掌握给出的5种幂函数

幂函数的5种形式 他们分别的定义域 值域 奇偶性 单调性

什么是幂函数

幂函数的5种形式 他们分别的定义域 值域 奇偶性 单调性

一、幂函数的概念，新课标只要求掌握给出的5种幂函数

幂函数中系数必须为1，否则只能称为幂函数型函数。

这类型问题属于常考题型，经常与方程、不等式或其他函数的概念综合。指数函数，对数函数也有类似要求，但考查得较少。

定义是解题的关键，而往往有许多同学忽略了。本题就是根据正比例函数，反比例函数，幂函数的定义列出等式或不等式求参数的取值，关键正是要熟悉相关的概念。

新课标只要求掌握给出的5种幂函数对应指数为-1.1.2.3和1/2，对幂函数的一般性质并不要求。

因此高考常常以这五种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质。题目多以选择或填空的行式出现，难度较小。有时会与其他知识结合，在知识交汇点处命题。复习时重点掌握其图象及单调性。

一、幂函数的5种形式 他们分别的定义域 值域 奇偶性 单调性

幂函数的一般形式为y=x^a.
如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识.因此我们只要接受它作为一个已知事实即可.
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,＋∞）.当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数；
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数.
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.
而只有a为正数,0才进入函数的值域.
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1,1）这点.
（2）当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数.
（3）当a大于1时,幂函数图形下凹；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸.
（4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.
（5）a大于0,函数过（0,0）；a小于0,函数不过（0,0）点.
（6）显然幂函数无界限.

二、什么是幂函数

幂函数定义：形如y=x^a(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。

幂函数图像必须出现在第一象限而不是第四象限。它是否出现在第二和第三象限取决于函数的奇偶性。幂函数图像最多只能出现在两个象限中。如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点必须是原点。

扩展资料：

幂函数性质：

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都经过点（1,1）(0,0）；函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都通过点（1,1）；图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、幂函数的5种形式 他们分别的定义域 值域 奇偶性 单调性

幂函数的一般形式为y=x^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，

因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界限。