「高中数学」“幂函数”的概念以及简单的图像性质及应用∽

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「高中数学」“幂函数”的概念以及简单的图像性质及应用∽

幂函数是什么意思有什么特性及性质 幂函数的概念和性质

幂函数的性质及图像特点

幂函数图像及性质总结表格是什么?

一、「高中数学」“幂函数”的概念以及简单的图像性质及应用∽

一、幂函数的概念:一般地，函数【y=x^α】叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

二、幂函数的图像与性质1、6个常见幂函数的图像与性质

2、幂函数知识辨析

(1)幂函数的图像都过点(0,0),(1,1).【解】错，α＜0时不过(0,0)；

(2)幂函数的图像一定不出现在第四象限，但可能出现在第二象限.【解】对,正数的任何次幂都是正的，但复数的偶次幂是正的.

(3)当幂指数α取1,3,1/2时，幂函数y=x^α是增函数.【解】对,α＞0时是增函数.

(4)当幂指数α=-1时，幂函数y=x^α在定义域上是减函数.【解】错,y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减.

(5)当α=0时，幂函数y=x^α的图像是一条直线.【解】错,y=x^0中x≠0,故图像应该是直线y=1去除点(0,1).

(6)若幂函数y=x^α的图像关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大.【解】错,y=x^α是奇函数，但α＜0时，函数在在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调.

3、已知几个幂函数在同一坐标系中的位置，如何判断它们的指数大小.

根据幂函数在第一象限内的图像确定幂指数α的大小关系，结论如下:

①在(0,1)上，指数越大，图像越靠近x轴(简记为“值大图低”);

②在(1,+∞)上，指数越大，图像越远离x轴(简记为“值大图高).

三、幂函数性质的应用.

幂函数的性质与参数α可以互相确定:

(1)幂函数y=x^α中只含有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等.

(2)也可由幂函数的性质来得出α的值或范围:①利用单调性求出α的取值范围；②利用奇偶性结合其他条件确定α的值.

一、幂函数是什么意思有什么特性及性质 幂函数的概念和性质

1、幂函数的概念：

y=x（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

2、幂函数的性质

正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

（1）图像都经过点（1，1）（0，0）；

（2）函数的图像在区间[0，+∞）上是增函数，如果α为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。

二、幂函数的性质及图像特点

一、性质

1、正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

2、负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3、零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

二、特点

对于α的所有非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果

，q和p都是整数，则

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则

，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；

α的分母为偶数时，x不小于0；

α的分母为奇数时，x取R。

扩展资料：

初等函数

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）

反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。初等函数在其定义区间内一定连续。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。例如 ，三角函数y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数。

它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

三、幂函数图像及性质总结表格是什么?

幂函数的图像：

幂函数的性质：

一、正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

二、负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

幂函数的单调区间

当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增。

③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。