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初中数学:关于矩形、菱形、正方形的性质及例题

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今天小编给各位分享矩形的性质的知识,文中也会对其通过初中数学:关于矩形、菱形、正方形的性质及例题和初中数学矩形知识点总结等多篇文章进行知识讲解,如果文章内容对您有帮助,别忘了关注本站,现在进入正文!

内容导航:
  • 初中数学:关于矩形、菱形、正方形的性质及例题
  • 初中数学矩形知识点总结
  • 平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定
  • 菱形矩形正方形的性质和判定
  • 一、初中数学:关于矩形、菱形、正方形的性质及例题

    矩形、菱形、正方形的性质

    1.矩形的性质

    ①具有平行四边形的一切性质;

    ②矩形的四个角都是直角;

    ③矩形的对角线相等;

    ④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;

    ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

    2.菱形的性质

    ①具有平行四边形的一切性质;

    ②菱形的四条边都相等;

    ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

    ④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;

    ⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

    3.正方形的性质

    正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

    ①边:四边相等,对边平行;

    ②角:四个角都是直角;

    ③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;

    ④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。

    【例题】矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )

    A.360 B.90

    C.270 D.180

    【例题】如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。

    【例题】如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。

    【例题】菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。

    【例题】如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由。

    矩形、菱形、正方形的判定

    1.矩形的判定

    ①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

    ②对角线相等的平行四边形是矩形;

    ③有三个角是直角的四边形是矩形;

    ④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

    2.菱形的判定方法

    ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

    ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

    ③四条边都相等四边形是菱形;

    ④对角线垂直平分的四边形是菱形。

    3.正方形的判定

    ①菱形+矩形的一条特征;

    ②菱形+矩形的一条特征;

    ③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

    说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。

    【例题】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。求证:四边形ADCE是矩形。

    【例题】如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB,求证:AD与EF互相垂直平分。

    【例题】已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。求证:四边形CDEF是菱形。

    矩形、菱形、正方形与函数综合题

    1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;

    2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

    【例题】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3)

    (1)求k的值;

    (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

    【例题】如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为______。

    【例题】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形。例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形。

    (1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

    (2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式。

    矩形、正方形的翻折

    1.从翻折中找出对称轴,利用对称性找相等关系。

    2.利用相等关系建立方程解决问题。

    【例题】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若CF=1,FD=2,则BC的长是( )

    A.3√6 B.2√6

    C.2√5 D.2√3

    【例题】如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为( )

    A.1或2 B. 2或3

    C.3或4 D. 4或5

    【例题】如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,将△ABE沿BE对折,A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF,与CD边交于点G,延长FE,与BA的延长线交于点H,则下列说法:①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA;③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有( )

    A.1个 B.2个

    C.3个 D.4个

    【例题】四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H。

    (1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明。

    (2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长。

    综合运用

    1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

    2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定,结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

    3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

    【例题】在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上。

    (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由。

    (2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长。

    (3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由。

    【例题】现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB和∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM。

    (1)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;

    (2)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,求证:CM=EM;

    (3)如图2,当A、B、D在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系,请先给出结论,然后证明。

    一、初中数学矩形知识点总结

    多则价谦,万物皆然,唯独知识例外。知识越丰富,则价值就越昂贵。下面给大家分享一些关于初中数学矩形知识点,希望对大家有所帮助。

    目录

    初中数学矩形知识点

    矩形、菱形、正方形的性质

    矩形、菱形、正方形的判定

    矩形考试知识

    初中数学矩形知识点

    矩形的定义

    有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。(矩形包括长方形和正方形)

    矩形的判定

    1.一个角是直角的平行四边形是矩形

    2.对角线相等的平行四边形是矩形

    3.有三个内角是直角的四边形是矩形

    4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

    说明:长方形和正方形都是矩形。平行四边形的定义在矩形上仍然适用。

    矩形的计算公式

    面积: S=ab(注:a为长,b为宽)

    周长: C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)

    矩形外接圆

    矩形外接圆半径 R=对角线的一半

    矩形的性质

    1.矩形的4个内角都是直角;

    2.矩形的对角线相等且互相平分;

    3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;

    4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。

    5.矩形具有平行四边形的所有性质

    6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

    黄金矩形

    黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率,换言之,矩形的长边为短边 1.618倍。

    黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感,令人愉悦。

    黄金矩形的分割 方法

    1)作任意正方形ABCD.

    2)用线段MN将正方形平分为两半.

    3)用圆规,以N为中心,以|CN|为半径作弧.

    4)延长射线AB直至与以上的弧相交于E点.

    5)延长射线DC.

    6)作线段EF⊥AE,并令射线DC与EF交于F点.

    则ADFE为一黄金矩形.


    矩形、菱形、正方形的性质

    1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

    2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.

    3.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

    ①边:四边相等,对边平行;②角:四个角都是直角;③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;④正方形是轴对称图形,有四条对称轴.


    矩形、菱形、正方形的判定

    1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形;④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

    2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等四边形是菱形;④对角线垂直平分的四边形是菱形.

    3.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征;②菱形+矩形的一条特征;③平行四边形+一个直角+一组邻边相等.

    说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形.

    三.例题

    1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )

    A.360 B.90 C.270 D.180

    2.矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。

    3.O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。

    4.菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长 。

    5.已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.

    (1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

    (2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式。


    矩形考试知识

    1、矩形的概念

    有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

    2、矩形的性质

    (1)具有平行四边形的一切性质(2)矩形的四个角都是直角

    (3)矩形的对角线相等(4)矩形是轴对称图形

    3、矩形的判定

    (1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形

    (3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形

    4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab

    二次函数概念

    二次函数的概念:一般地,形如ax^2+bx+c = 0的函数,叫做二次函数。

    这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

    二次函数图像与性质口诀

    二次函数抛物线,图象对称是关键;

    开口、顶点和交点,它们确定图象限;

    开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

    一、目标与要求

    1、感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过解决简单的`实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

    2、经历由具体实例建立不等模型的过程,经历探究不等式解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合思想;

    3、通过对不等式、不等式解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域。

    二、重点

    理解并掌握不等式的性质;

    正确运用不等式的性质;

    建立方程解决实际问题,会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

    寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型;

    一元一次不等式组的解集和解法。

    三、难点

    一元一次不等式组解集的理解;

    弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式;

    正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上。


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    二、平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定

    性质:平行四边形:对边平行且相等,对角相等,两条对角线互相平分,中心对称。
    矩形:对边平行且相等,四个角都是直角,两条对角线互相平分且相等,轴对称,中心对称。
    菱形:对边平行,四条边都相等,对角相等,两条对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角,轴对称,中心对称。
    正方形:对边平行且四边都相等,四个角都是直角,两条对角线互相平分且相等,每条对角线平分一组对角,轴对称,中心对称。
    判定方法:平行四边形:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
    (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
    (4)两组对角分别相等的四边形。
    (5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

    矩形:(1)有三个角是直角的四边形是矩形。
    (2)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
    (3)对角线相等的平行四边形是矩形。
    菱形:(1)四边都相等的四边形是菱形。
    (2)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
    (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
    正方形:(1)有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形是正方形。
    (2)有一组邻边相等的矩形是正方形。
    (3)有一个角是直角的菱形是正方形。
    绝对准确,以后有问题可以再问我,百问不厌?

    三、菱形矩形正方形的性质和判定

    两组对角分别相等的四边形是平行四边形,对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线相等的平行四边形是矩形(对角线相等且互相平分的四边形是矩形);有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

    平行四边形的性质

    (1)平行四边形的对边平行。

    (2)平行四边形的对边相等。

    (3)平行四边形的对角相等。

    (4)平行四边形的邻角互补。

    (5)平行四边形的两条对角线互相平分。

    (6)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。

    平行四边形的判定方法

    (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(定义)

    (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

    矩形定义

    有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

    矩形性质

    (1)矩形具有平行四边形的一切性质。

    (2)矩形的四个角都是直角。

    (3)矩形的对角线相等且互相平分。

    矩形判定方法

    (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

    (2)有三个角是直角的四边形是矩形直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

    菱形定义

    有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

    菱形性质

    (1)菱形具有平行四边形的一切性质。

    (2)菱形的四条边都相等。

    (3)菱形的两条对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。

    (4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,其对称轴为对角线所在的直线。

    菱形判定方法

    (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

    (2)四条边都相等的四边形是菱形。

    关于矩形的性质的问题,通过《平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定》、《菱形矩形正方形的性质和判定》等文章的解答希望已经帮助到您了!如您想了解更多关于矩形的性质的相关信息,请到本站进行查找!

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