第1节 解直角三角形

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第1节 解直角三角形

如何解直角三角形

初中数学解三角形的知识点总结

怎样用三角函数解直角三角形

一、第1节 解直角三角形

第一节

一、如何解直角三角形

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直接讲：1、锐角三角函数定义
锐角角A的正弦,余弦和正切,余切都叫做角A的锐角三角函数
正弦等于对边比斜边
正切等于对边比邻边
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函数间的关系
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
4、三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
一、教科书内容与课程学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识的展开顺序
（二）教科书内容
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。

二、初中数学解三角形的知识点总结

很多同学都学过解三角形，我整理了一些三角形的知识点，大家一起来看看吧。

《解三角形》知识点总结

1.正弦定理及其变形

(1)正弦定理、三角形面积公式：

===2R(R是三角形外接圆半径）

S=bcsinA=absinC=acsinB.

(2)正弦定理的变形：

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

②sinA=,sinB=,sinC=；

③sinA：sinB：sinC=a:b:c

(3)正弦定理的适用范围：

①已知两角及一边；

②已知两边及一边对角（注意这种情况下三角形解的个数的判断).

2.余弦定理及其变形

(1)余弦定理：a=b+c–2bccosA

(2)变形公式：cosA=

(3)余弦定理的适用范围：

①已知两边及其夹角求第三边（直接套用余弦定理）；

②已知三边求三个角（套用余弦定理的变式形式）；

③已知两边及一边对角（套用余弦定理求解关于第三边的一元二次方程）.

(4)锐角、直角、钝角三角形的判断

b+c–a>0⟺A是锐角；

b+c–a＝0⟺A是直角；

b+c–a<0⟺A是钝角；

3.三角形内角和定理

A+B+C=π

sin(B+C)=sin(π–A)=sinA

cos(B+C)=cos(π–A)=–cosA

(应用三角形内角和定理可实现角之间的代换）

《三角函数及三角恒等变换》知识点总结

1.特殊角的三角函数

2.诱导公式

sin(π–α)=sinα；sin(π＋α)=–sinα；sin(2π–α)=–sinα；sin(–α)=–sinα

cos(π–α)=–cosα；cos(π＋α)=–cosα；cos(2π–α)=cosα；cos(–α)=cosα；

口诀：正弦一、二象限为正；余弦一、四象限为正

3.同角三角函数关系

sinα+cosα=1；tanα=

4.和差角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ异名、不变号

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ；cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ同名、变号

5.二倍角公式

sin2α=2sinαcosα；cos2α=cosα–sinα降幂公式：cosα=

=1–2sinαsinα=

=2cosα–1

6.辅助角公式

asinA+bcosA

=(sinA+cosA)令cosφ＝，sinφ=

=(sinAcosφ+cosAsinφ)

＝sin(A+φ)(φ为辅助角，且tanφ=)

eg.sinα+cosα=2(sinα+cosα)=2(sinαcos30+cosαsin30)=2sin(α+30)

解直角三角形知识点

1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度；(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方；(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c；(4)面积的公式s=ab／2；此外还有射影定理，内外切接圆的半径。

2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角；(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)；(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边；(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。

解三角形例题

以上就是一些解三角形的相关信息，供大家参考。

三、怎样用三角函数解直角三角形

教学建议
1.知识结构:
本小节主要学习解直角三角形的概念,直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.
2.重点和难点分析:
教学重点和难点:直角三角形的解法.
本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练把握直角三角形的解法,首先要使学生知道什么叫做解直角三角形,直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系.正确选用这些关系,是正确、迅速地解直角三角形的关键.
3. 深刻熟悉锐角三角函数的定义,理解三角函数的表达式向方程的转化.
锐角三角函数的定义:
实际上分别给了三个量的关系:a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值,它们都是实数,但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.
当这三个实数中有两个是已知数时,它就转化为一个一元方程,解这个方程,就求出了一个直角三角形的未知的元素.
如:已知直角三角形ABC中,,求BC边的长.
画出图形,可知边AC,BC和三个元素的关系是正切函数(或余切函数)的定义给出的,所以有等式
,
由于,它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程,解这个方程,得
.
即得BC的长为.
又如,已知直角三角形斜边的长为35.42cm,一条直角边的长29.17cm,求另一条边所对的锐角的大小.
画出图形,可设中,,于是,求的大小时,涉及的三个元素的关系是
也就是
这时,就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程,经查三角函数表,得
.
由此看来,表达三角函数的定义的4个等式,可以转化为求边长的方程,也可以转化为求角的方程,所以成为解三角形的重要工具.
4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种,列表如下:
5. 注重非直角三角形问题向直角三角形问题的转化
由上述(3)可以看到,只要已知条件适当,所有的直角三角形都是可解的.值得注重的是,它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决,而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到,只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题,就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.
例如,在锐角三角形ABC中,,求这个三角形的未知的边和未知的角(如图)
这是一个锐角三角形的解法的问题,我们只需作出BC边上的高(想一想:作其它边上的高为什么不好.),问题就转化为两个解直角三角形的问题.
在Rt中,有两个独立的条件,具备求解的条件,而在Rt中,只有已知条件,暂时不具备求解的条件,但高AD可由解时求出,那时,它也将转化为可解的直角三角形,问题就迎刃而解了.解法如下:
解:作于D,在Rt中,有
;
又,在Rt中,有
∴
又,
∴
于是,有
由此可知,把握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的,如
(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.
(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.
(3)连结对角线,可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.
(4)如图,等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高,就得到直角三角形OAM,OA是半径,OM是边心距,AB是边长的一半,锐角.
6. 要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.
很多实际问题都可以归结为图形的计算问题,而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.
我们知道,机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题,而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的(如图).螺纹是以一定的角度旋转上升,使得螺丝旋转时向前推进,问直径是6mm的螺丝钉,若每转一圈向前推进1.25mm,螺纹的初始角应是多少度多少分?
据题意,螺纹转一周时,把侧面展开可以看作一个直角三角形,直角边AC的长为
,
另一条直角边为螺钉推进的距离,所以
,
设螺纹初始角为,则在Rt中,有
∴.
即,螺纹的初始角约为 .
这个例子说明,生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题,我们应当注重培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.
一、教学目标
1.使学生把握直角三角形的边角关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;
2.通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;
3.通过本节的学习,向学生渗透数形结合的数学思想,培养他们良好的学习习惯.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.重点:直角三角形的解法。
2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
3.疑点:学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边。
4.解决办法:设置疑问,引导学生主动发现方法与途径,解决重难点,以相似三角形知识为背景解决疑点。
三、教学步骤
(一)明确目标
1.在三角形中共有几个元素?
2.如图直角三角形ABC中,这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系
(2)三边之间关系
(勾股定理)
(3)锐角之间关系 。
以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用。
(二)整体感知
教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形,目的是运用锐用三角函数知识,对其加以复习巩固。同时,本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后,就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。综上所述,解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。
(三)教学过程
1.我们已把握Rt的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素。这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢,激发了学生的学习热情。
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形)。
3.例题
例1 在中,为直角,所对的边分别为,且,解这个三角形。
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用。因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想。其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演。
解:(1),
(2),
∴
(3)
∴
完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?”
答:先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底。
例2 在Rt中,,解这个三角形。
在学生独立完成之后,选出最好方法,教师板书。
解:(1),
查表得;
(2)
(3),
∴。
注重:例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算,这时要查平方表和平方根表,这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表,并作一次加法(或减法)或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。
4.巩固练习
解直角三角形是解实际应用题的基础,因此必须使学生熟练把握。为此,教材配备了练习P.23中1、2练习1针对各种条件,使学生熟练解直角三角形;练习2代入数据,培养学生运算能力。
[参考答案]
1.(1);
(2)由求出或;
(3),
或;
(4)或。
2.(1);
(2)。
说明:解直角三角形计算上比较繁琐,条件好的学校答应用计算器。但无论是否使用计算器,都必须写出解直角三角形的整个过程。要求学生认真对待这些题目,不要马马虎虎,努力防止出错,培养其良好的学习习惯。
(四)总结扩展
1.请学生小结:在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求出另三个元素。
2.幻灯片出示图表,请学生完成
四、布置作业
教材P.32习题6.4A组3。
[参考答案]
3.;
五、板书设计