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因式分解常用方法

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今天小编给各位分享因式分解教案的知识,文中也会对其通过因式分解常用方法和因式分解常用方法等多篇文章进行知识讲解,如果文章内容对您有帮助,别忘了关注本站,现在进入正文!

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  • 因式分解常用方法
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  • 因式分解的几种方法
  • 因式分解的常用方法
  • 一、因式分解常用方法

    一、因式分解常用方法

    因式分解常用的方法有三种:提公因式法,公式法,十字相乘法
    首选题公因式法
    公示法里包含应用完全平方公式和平方差公式

    二、因式分解的几种方法

      导语:因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解,即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。

      因式分解的几种方法

      1、提公因法

      如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

      例1、分解因式x3-2x2-x

      x3-2x2-x=x(x2-2x-1)

      2、应用公式法

      由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。

      例2、分解因式a2+4ab+4b2

      解:a2+4ab+4b2=(a+2b)2

      3、分组分解法

      要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

      例3、分解因式m2+5n-mn-5m

      解:m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n

      = (m2-5m)+(-mn+5n)

      =m(m-5)-n(m-5)

      =(m-5)(m-n)

      4、十字相乘法

      对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

      例4、分解因式7x2-19x-6

      分析:1×7=7,2×(-3)=-6

      1×2+7×(-3)=-19

      解:7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)

      5、配方法

      对于那些不能利用公式法的多项式,有的'可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。

      例5、分解因式x2+6x-40

      解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40

      =(x+ 3)2-(7 )2

      =[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

      =(x+10)(x-4)

      6、拆、添项法

      可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

      例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

      解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

      =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

      =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

      =(c+b)(c-a)(a+b)

      7、换元法

      有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

      例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式,在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的,如四次项与常数项对称,系数相等,解法也是把对称项结合在一起)

      解:2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2

      =x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

      令y=x+,

      x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

      = x2[2(y2-2)-y-6]

      = x2(2y2-y-10)

      =x2(y+2)(2y-5)

      =x2(x++2)(2x+-5)

      =(x2+2x+1)(2x2-5x+2)

      =(x+1)2(2x-1)(x-2)

      8、求根法

      令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情况下是试根法,并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)

      例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6

      解:令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0

      通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1 ,

      则2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

      9、图象法

      (这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容,它和第八种方法是类似的)

      令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为

      f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

      例9、因式分解x3+2x2-5x-6

      解:令y=x3+2x2-5x-6

      作出其图象,可知与x轴交点为-3,-1,2

      则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

      10、主元法

      先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

      例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

      分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

      解:a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)

      =(b-c) [a2-a(b+c)+bc]

      =(b-c)(a-b)(a-c)

      11、利用特殊值法

      将2或10(或其它数)代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15

      解:令x=2,则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105

      将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

      注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

      则x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

      12、待定系数法

      首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

      例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4

      如果已知道这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

      解:设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

      = x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

      从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

      所以解得

      则x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)

      因式分解的几种方法

      1】提取公因式

      这种方法比较常规、简单,必须掌握。

      常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等

      例一:2x-3x=0

      解:x(2x-3)=0

      x1=0,x2=3/2

      这是一类利用因式分解的方程。

      总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。

      2】公式法

      将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。

      常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等

      注意:使用公式法前,建议先提取公因式。

      例二:x-4分解因式

      分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解:原式=(x+2)(x-2)

      3】十字相乘法

      是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。

      这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1.a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1.c2的积c1.c2,并使a1c2?a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果

      例三: 把2x-7x+3分解因式.

      分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.

      分解二次项系数(只取正因数):

      2=1×2=2×1;

      分解常数项: 222

    三、因式分解的常用方法

    因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等
    方法有以下几种:

    1 提公因式法,如果一个多项式的各项都含有公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式
    比如分解因式x3-2x2-x=x(x2-2x-1)。

    2 分组分解法

    3 应用公式法,由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。
    比如分解因式a2+4ab+4b2,可得到结果为(a+2b)2。

    希望能帮到你

    关于因式分解教案的问题,通过《因式分解的几种方法》、《因式分解的常用方法》等文章的解答希望已经帮助到您了!如您想了解更多关于因式分解教案的相关信息,请到本站进行查找!

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