「数学暑假自己学」初高衔接第二讲《因式分解》

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「数学暑假自己学」初高衔接第二讲《因式分解》

初二数学因式分解的步骤及例题

初二数学因式分解教案

初中数学因式分解教案

一、「数学暑假自己学」初高衔接第二讲《因式分解》

一、初二数学因式分解的步骤及例题

因式分解是初二代数中的重要内容,并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中,学习它,既可以培养的观察能力、运算能力,又可以提高综合分析问题、解决问题的能力.转化是本章最重要的数学思想,即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试,应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.本专题重要讲解两个内容,一是因式风解的几点注意事项,二是因式分解的应用. 　　一、注意事项：
　　1、因式分解与整式乘法互为逆运算 　　
　　2．在提公因式时,若各项系数都是整数,所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积.
　　3．如果多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
　　4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,例如：-a-b+c=-(a+b-c)；
　　又如：当n为自然数时,(a-b)2n=(b-a)2n; (a-b)2n-1=-(b-a)2n-1,都是在因式分解过程中常用到的因式变换.
　　5．能运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解的多项式,必须是二项式或视作二项式的多项式,且这二项的符号相反,
　　a、b可表示数,亦可表示字母或代数式,每项都能写成数（或式）的完全平方的形式.
　　5．能运用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解的多项式,必须是三项式或视作三项式的多项式,且其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式,而余下的一项是这两个数（或式）的乘积的2倍.如果三项中的两个完全平方项都带有负号,则应先提出负号,再运用完全平方公式分解因式. 　　例1、把-a2-b2+2ab+4分解因式.
　　-a2-b2+2ab+4
　　　=-(a2－2ab+b2-4)
　　　=-[(a2-2ab+b2)-4]
　　　=-[(a-b)2-4]
　　　=-(a－b+2)(a－b－2)
　　如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的,以免出错. 　　例2、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
　　（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
　　　=（a+b）n[(a+b)2-2(a+b)+1]
　　　=(a+b)n(a+b-1)2
　　本题先运用提取公因式,然后运用完全平方公式
　　例3、分解因式：x4－8x2+16
　　x4-8x2+16
　　　=(x2-4)2
　　　=[(x+2)(x-2)]2
　　　=(x+2)2(x-2)2
　　本题注意分解彻底,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 　　二、因式分解的应用：
　　将式子化为若干个因式的乘积,这种转换往往能使复杂的运算展开,转换为一次因式中的简单加减运算,从而大大减化运算过程,这是等价转换的数学思想方法. 　　例1．计算：
　　(1) ;　　(2);
　　(3)2022-542+256×352; 　(4)6212-769×373-1482.
　　分析：此题中有1812-612,3192-2092；17.52-9.52, 131.52-3.52; 2022-542; 6212-1482.使我们考虑到多项式的乘法公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2.
　　它的逆变形是 a2-b2=(a+b)(a-b)
　　应用上述变形式,我们就可以将较为复杂的平方运算,降价转化为简单的加、减运算和乘法运算. 　　(1) = = =.
　　(2) = = =.
　　(3) 2022-542+256×352
　　　=(202+54)×(202-54)+256×352
　　　=256×148+256×352
　　　=256×(148+352)
　　　=256×500=128000. 　　(4)6212-769×373-1482.
　　　=(621+148)×(621-148)-769×373
　　　=769×473-769×373
　　　=769×(473-373)
　　　=769×100=76900.
　　通过例1,我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方差公式,化平方运算为乘法运算；（2）约分化简或提取因数结合运算求值.同时,例1也反映出分解因式的方法,在简化运算时的重要性.　　例2．求证：(1) 710-79-78=78×41; (2) 109+108+107=5×106×222; (3) 257-512能被120整除； (4)817-279-913能被45整除
　　分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,
　　反过来,我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).
　　应用上述结论,能够恰到好处的达到降低次数,解决本例问题的目的. 　　∵(1) 710-79-78=78×(72-7-1)
　　　　　　 =78×(49-8)=78×41,
　　∴710-79-78=78×41. 　　(2)∵ 109+108+107=107×(102+10+1)
　　　　 =107×(100+11)=106×10×111
　　 　　=5×106×222
　　∴109+108+107=5×106×222. 　　(3)∵257-512=(52)7-512
　　　　=514-512=511×(53-5)
　　　　=511×(125-5)=511×120,
　　∴257-512能被120整除； 　　(4)∵817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13
　　　　=328-327-326=324×(34-33-32)
　　　　=324×(81-27-9)=324×45,
　　∴817-279-913能被45整除. 　　通过例2,我们可以看出,解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；（2）将提取因数后的其他数的代数和化简,得到我们能够说明问题的结论,从而解决问题. 　　例3．已知a= , b=, 求(a+b)2-(a-b)2的值. 　　(a+b)2-(a-b)2
　　　 =[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
　　　 =2a·2b=4ab,
　　∴(a+b)2-(a-b)2=4×× =. 　　例4．解方程：
　　(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; 　　(2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).
　　(1)逆用平方差公式,把原方程化为其等价形式
　　[(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260,
　　即126×130x=260, ∴ x=.
　　(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,
　　即-78×2×(78x+77)=0,
　　78x+77=0, ∴ x=- .
　　通过例4可见,应用等价转化思想来因式分解,往往可以将较高次的方程,巧妙转化为最简方程,从而求出方程的根.　　例5．（248-1）可以被60与70之间的两个数整除,这两个数是（　 ）
　　A、61,63　　　 B、61,65　　 C、63,65　　　 D、63,67 　　248-1=(224+1)(224-1)
　　　=(224+1)(212+1)(212-1)
　　　=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1),
　　∵ 26+1=65, 26-1=63.
　　∴ 应选C.

二、初二数学因式分解教案

　　下面是我为你整理的初二数学因式分解教案，一起来看看吧。

　　初二数学因式分解教案

　　教学目标:

　　1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.

　　2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.

　　3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.

　　教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.

　　教具准备:多媒体课件(小黑板)

　　教学方法:活动探究法

　　教学过程:

　　引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?

　　知识详解

　　知识点1 因式分解的定义

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

　　【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

　　例如:

　　(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

　　怎样把一个多项式分解因式?

　　知识点2 提公因式法

　　多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).

　　探究交流

　　下列变形是否是因式分解?为什么?

　　(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;

　　(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.

　　典例剖析 师生互动

　　例1 用提公因式法将下列各式因式分解.

　　(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);

　　分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(a-b),然后再提取公因式.

　　小结 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:

　　(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.

　　(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

　　(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.

　　学生做一做 把下列各式分解因式.

　　(1) (2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ;(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2

　　知识点3 公式法

　　(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

　　(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.

　　探究交流

　　下列变形是否正确?为什么?

　　(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-1=(x-1)2.

　　例2 把下列各式分解因式.

　　(1) (a+b)2-4a2;(2)1-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9.

　　分析:本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

　　学生做一做 把下列各式分解因式.

　　(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2)(x+y)2-4(x+y-1).

　　综合运用

　　例3 分解因式.

　　(1)x3-2x2+x; (2) x2(x-y)+y2(y-x);

　　分析:本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.

　　小结 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式都不能再分解为止.

　　探索与创新题

　　例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= .

　　分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).

　　学生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k= .

　　课堂小结

　　用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.

　　各项有"公"先提"公",首项有负常提负,某项提出莫漏"1",括号里面分到"底"。

　　自我评价 知识巩固

　　1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )

　　A.3 B.-5 C.7. D.7或-1

　　2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( )

　　A.2 B.4 C.6 D.8

　　3.分解因式:4x2-9y2= .

　　4.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.

　　5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式

　　思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.

　　附:板书设计

　　因式分解

　　因式分解的定义 探究交流 探索创新

　　提公因式法 典例剖析 课堂小结

　　公式法 综合运用 自我评价

　　初二数学因式分解教学反思

　　因式分解是第九章的难点。学生初学因式分解时往往要与乘法运算混淆。原因主要是概念不清。

　　在教学时，因式分解与乘法的区别是通过把等号两边的式子互相转换位置而直观得出。对于因式分解的方法，学生可通过自己的一系列练习实践去体会。故不需要在开头引入的地方多加铺垫，浪费了一定的时间。

　　在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用 公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比较会将平方差和完 全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差 公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。

三、初中数学因式分解教案

因式分解是初中 八年级 数学中一个重要的知识点，老师在教学之前怎么准备教案呢？下面我为你整理了初中数学因式分解的教案设计，希望对你有帮助。

　　初中数学因式分解教案设计
　　一、案例背景

　　现代 教育 理论认为，教师为主导，学生为主体，教师应当充分调动学生的学习积极性，使之主动地探索、研究，让学生都参与到课堂活动中，通过学生自我感受，培养学生观察、分析、归纳的能力，逐步提高自学能力，独立思考的能力，发现问题和解决问题的能力，逐渐养成良好的个性品质。

　　因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。

　　二、案例分析

　　教学过程设计

　　(一)『情境引入』

　　情境一：如何计算375×2.8+375×4.9+375×2.3 ?你是怎么想的?

　　问题：为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3可以写成375×(2.4+4.9+2.3)?依据是什么?

　　【评析】：(1)、复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。

　　(2)、学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算 方法 ，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。还为新课内容的学习创设了良好的情绪和氛围。

　　情境二：分析比较

　　把单项式乘多项式的乘法法则

　　a(b+c+d)=ab+ac+ad ①

　　反过来，就得到

　　ab+ac+ad =a(b+c+d)②

　　思考(1)你是怎样认识①式和②式之间的关系的?

　　(2)②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗?你能说出这个因式吗?

　　【评析】：(1)、探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。

　　(2)、本题注重培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。

　　(二)『探究因式分解』

　　1、认识公因式

　　(1)、【概念1】：多项式ab+ac+ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。

　　(2)、议一议

　　下列多项式的各项是否有公因式?如果有，试找出公因式.

　　①多项式a2b+ab2的公因式是ab，…… 公因式是字母;

　　②多项式3x2-3y的公因式是3，…… 公因式是数字系数;

　　③多项式3x2-6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。

　　分析并猜想

　　确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑。

　　①如何确定公因式的数字系数?

　　②如何确定公因式的字母?字母的指数怎么定?

　　练一练：写出下列多项式各项的公因式

　　(1)8x-16 (2)2a2b-ab2

　　(3)4x2-2x (4)6m2n-4m3n3-2mn

　　【评析】：(1)、教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和 经验 ，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。

　　(2)、对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。

　　(3)、找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数　二看字母　三看指数。

　　2、认识因式分解

　　【概念2】：把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。

　　(课本)P71练一练第1题

　　(1)、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是?

　　①. ab+ac+d=a(b+c)+d

　　②. a2-1=(a+1)(a-1)

　　③.(a+1)(a-1)= a2-1

　　(2)、你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系?从中你得到什么启发?

　　【评析】：(1)、本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。

　　(2)、教师安排本题意图就是引导学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的 逻辑思维 能力和表达、交流能力。让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。

　　(三)『例题研究』

　　例1：把下列各式分解因式

　　(1)6a3b-9a2b2c (2)-2m3+8m2-12m

　　解：(1)6a3b-9a2b2c

　　=3a2b·2a-3a2b·3bc(找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式)

　　=3a2b(2a-3bc)(提取公因式)

　　(2)-2m3+8m2-12m

　　=-(2m·m2-2m·4m+2m·6)(首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内，注意放入括号中各项符号的变化。)

　　=-2m(m2-4m+6)(提取公因式)

　　【评析】：(1)、因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。

　　(2)、教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。

　　(3)、教学中教师不能简单地要求学生记忆运算法则，更要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。

　　本题的易错点：

　　(1)、漏项：提公因式后括号中的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

　　(2)、符号：由于添括号法则在上学期没有涉及，所以有必要在此处强调，添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号;括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。

　　(四)『巩固练习』

　　练一练：辨别下列因式分解的正误

　　(1)8a3b2-12ab4+4ab=4ab(2a2b-3b3)

　　(2)4x2-12x3=2x2(2-6x)

　　(3)a3-a2=a2(a-1)= a3-a2

　　解(1)错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项。

　　(2)错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式。

　　(3)错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法。

　　【评析】：(1)、这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。

　　(2)、当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。

　　(3)、进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。

　　(4)、教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到真正强化，也分散了本节课的难点。

　　(五)『想一想』：

　　如何把多项式3a(x+y)-2b(x+y)分解因式?

　　解：3a(x+y)-2b(x+y)= (x+y)(3a-2b)

　　评析：公因式(x+y)是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体(多项式)时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如：(2-a)=-(a-2)，教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。

　　【概念3】把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
　　初中数学因式分解教学 反思
　　1、本节课根据学生的知识结构，采用的教学流程是：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力;

　　2、分解因式是一种变形，变形的结果应是整式的积的形式，分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程;

　　3、在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在做分解因式时出现了以下错误：(1)公因式找错;(2)公因式找不完整(如：漏掉公因式的系数(或系数不是取各项系数的最大公约数)、公因式中含有多项式时，漏掉系数或字母因数)，导致因式分解不彻底;

　　4、由于在七年级上册教材中没有涉及添括号法则，所以学生在分解第一项系数是负数的多项式时，出现了很多符号错误;

　　因式分解是一个重点，也是一个难点，以上存在问题在以后的教学中有待进一步加强。