「代数思维系列」抛物线性质汇总

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「代数思维系列」抛物线性质汇总

抛物线性质？

抛物线几何性质

抛物线性质

一、「代数思维系列」抛物线性质汇总

上两篇文章已对椭圆及双曲线性质进行了汇总，本文对高考考点中涉及的抛物线的部分性质进行汇总。

注：以下仅讨论焦点在x轴上且开口向右的抛物线性质。

抛物线定义

平面内到定点F（p/2，0）的距离和到定直线l：x=-p/2的距离之比为常数e=1的点的轨迹是抛物线。其中定点F（p/2，0）为抛物线的焦点，定直线l：x=-p/2为抛物线的准线。

此为课本上的标准定义，不再详述。

上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。

抛物线方程

1.抛物线标准方程

其中p>0，几何意义为焦准距，下同。不再详述。

2.抛物线参数方程

其中t为参数，显然t=x/y，故参数t的几何意义为抛物线上任意点（除顶点外）与原点连线的斜率的倒数。

切线

1.抛物线切线定理

抛物线上任意点P，其在准线上的射影为M，抛物线焦点为F，则过P点的切线平分∠MPF。

此定理揭示了抛物线的一条光学性质，该性质在高中数学课本上也有提及，即从抛物线的一个焦点发出的光线，经抛物线反射后变成平行光。

2.抛物线切线方程

过抛物线上一点P（x0，y0）的的切线方程为：

上述两个证明过程都用到了隐函数求导，高中范围不涉及该知识点，有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。

3.抛物线切点弦方程

过抛物线外一点P（x0，y0），做抛物线上的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：

4.切点弦性质

性质1：准线上的点形成的切点弦过焦点。

证：设P在准线上，故P点坐标为（-p/2，y0），

将P点坐标代入切点弦方程，即：y0y=p（x-p/2）

显然此方程过点F（p/2，0）。

性质2：做抛物线外一点的切点弦，如果过焦点，则此点必在准线上。

证：设P（x0，y0），则P点对应的切点弦方程为：y0y=p（x+x0），

将焦点F（p/2，0）代入切点弦方程，即：0=p（p/2+x0），

则x0=-p/2，即P点在准线上。

焦半径及焦点弦

1.焦半径长

焦半径长公式1：

通过准线性质容易得到。

焦半径长公式2：

其中α为焦半径与x轴正半轴夹角。

当A点位于x轴以上（含x轴，此时A点为顶点，可认为此时焦半径与x轴正半轴夹角为180°）时，分母取负，当A点位于x轴以下时，分母取正。

推导如下：

设抛物线焦点为F，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，取AB中点C(x3，y3)。过A做x轴垂线，垂足为D。A、B、C、D在准线上的射影分别为A'、B'、C'、D'。设AB与x轴夹角为α。（以下诸性质均以上图进行证明）

2.焦半径关系

由焦半径公式2，容易得到：

3.焦点弦性质

性质1：以焦点弦为直径的圆与准线相切。

即：以AB为直径的圆与A'B'相切

证：设以AB为直径的圆半径为r，显然圆心为C。

CC'为梯形AA'B'B的中位线，故圆心C到准线距离：

故以AB为直径的圆与准线相切。

显然，∠AC'B=90°。

性质2：以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。

即：以A'B'为直径的圆与AB相切

证：∵AA'=AF，∴ ∠AA'F=∠AFA'

∵AA'∥FD'，∴∠AA'F=∠A'FD'

同理：∠BFB'=∠B'FD

∴∠A'FB'=90°，∴C'F=A'B'/2=A'C'

又∵AC'=AC'，∴△AA'C'≌ △AFC，∴C'F⊥AB，

∴以A'B为直径的圆与AB相切。

显然且已证明：∠A'FB'=90°，C'F=A'B'/2， C'F⊥AB。

4.焦点弦长

焦点弦长公式1：

由焦半径公式1可推得。

焦点弦长公式2：

由焦半径公式2可得

特别的：当α=90°时，上式结果即为通径长：2p。且依据正弦函数性质可知，抛物线通径是最短的焦点弦。

焦点弦长公式3：

其中k为通径所在直线斜率。

特别的：当k趋于无穷大时，上式结果即为通径长：2p。

5.焦点弦三角形

焦点弦与顶点构成的三角形面积公式：

推导如下：

特别的：当α=90°时，上式结果即为通径与顶点形成的三角形面积：p²/2。且依据正弦函数性质可知，通径三角形是面积最小的焦点弦三角形。

其他

1.判别式

直线方程y=kx+m与抛物线方程联立后的，关于x的二次方程的判别式：

2.一般弦长公式

抛物线一般弦长公式：

显然，当m=-kp/2，即直线过焦点时，公式退化为焦点弦公式3。

3.焦点弦中的韦达定理

过焦点的直线方程与抛物线方程联立后，两交点（如果存在的话）：A（x1，y1），B（x2，y2）满足如下关系：

上述公式推导过程从略

文|高见远，转载请注明出处。

一、抛物线性质？

抛物线性质

1、焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标

2、通径|AB|=2p

3、焦点弦

（1）、|AB|=p+x1+x2

（2）、|AB|=2psin2θ2pP(y2=2px(p>0))

（3）、|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)

（4）、焦点弦的端点坐标A（x1,y1），B（x2，y2）,则有x1x2=,y1y2=-p24p2

（5）、n=1+cosθ,m=1−cosθm+n=p

扩展资料：

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

二、抛物线几何性质

(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率 始终为常数1
(5)焦半径 PF|=x0+p/2
(6)通径 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度：2P

抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……

但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。

抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法[1]。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

三、抛物线性质

抛物线性质
1、焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标
2、通径|AB|=2p
3、焦点弦
（1）、|AB|=p+x1+x2
（2）、|AB|=2psin2θ2pP(y2=2px(p>0))
（3）、|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)
（4）、焦点弦的端点坐标A（x1,y1），B（x2，y2）,则有x1x2=,y1y2=-p24p2
（5）、n=1+cosθ,m=1−cosθm+n=p
抛物线
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。