抛物线及几何性质，实质“一动三定”，活用抛物线焦点弦四个结论

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抛物线及几何性质，实质“一动三定”，活用抛物线焦点弦四个结论

抛物线焦点弦的八大结论分别是什么？

关于抛物线焦点弦的结论 结论定义

抛物线焦点弦的八大结论分别是？

一、抛物线及几何性质，实质“一动三定”，活用抛物线焦点弦四个结论

【考试要求】

1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

【知识梳理】

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

【微点提醒】

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

【考点聚焦】

考点一　抛物线的定义及应用

【规律方法】　应用抛物线定义的两个关键点

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.

考点二　抛物线的标准方程及其性质

【规律方法】　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

考点三　直线与抛物线的综合问题

【规律方法】　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.

【反思与感悟】

1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).

2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.

【核心素养提升】

【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论

1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.

一、抛物线焦点弦的八大结论分别是什么？

第一类是常见的基本结论；

第二类是与圆有关的结论；

第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；

第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）

2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）

3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。

4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2

扩展资料：

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

二、关于抛物线焦点弦的结论 结论定义

①过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=x1+x2+p.
证明：设抛物线的准线为L,从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D.由于L的方程是x＝-p/2,所以
|AC|=x1+p/2,|BD|=x2+p/2,
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.
类似有：
②过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=y1+y2+p.
③过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-x1-x2+p.
④过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-y1-y2+p.
除了以上四点之外,还有:
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）
2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离,下同）
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时,焦点弦的长度取得最小值2p.
4、如果焦点弦的两个端点是A、B,那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2

三、抛物线焦点弦的八大结论分别是？

第一类是常见的基本结论；

第二类是与圆有关的结论；

第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；

第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1,y1),B(x2,y2)则

|AB|=x1+x2+p

证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。由于L的方程是x＝-p/2，所以

|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2

根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|

所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p

扩展资料：

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。