2021年全国中考数学真题分类汇编-四边形：矩形、菱形、正方形

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2021年全国中考数学真题分类汇编-四边形：矩形、菱形、正方形

中考数学题

各省中考数学最后2题

中考数学有关“四边形”的易错点有哪些？

一、2021年全国中考数学真题分类汇编-四边形：矩形、菱形、正方形

2021年全国中考数学真题分类汇编--四边形：矩形、菱形、正方形（试卷版）

【考点 矩形的性质与判定】

1.定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2.性质

(1) 对边平行且相等

(2) 四个内角都是直角

(3) 两条对角线相等且互相平分

(4) 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形

3.判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)有三个角是直角的四边形是矩形

(3)对角线相等的平行四边形是矩形

【考点 菱形的性质与判定】

1.定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．性质

(1)菱形四条边都相等

(2)对角相等

(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角

(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形

3.判定

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)四条边相等的四边形是菱形

(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【考点 正方形的性质与判定】

1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．性质

(1)四条边都相等

(2)四个角都是90°

(3)对角线互相垂直平分且相等

(4)对角线平分一组对角

(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形

3.判定

(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

(2)有一个角是直角的________是正方形

(3)有一组邻边相等的矩形是正方形

(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

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一、中考数学题

1.矩形 菱形 菱形

2.当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直
当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等

二、各省中考数学最后2题

2008年华中各省中考数学几何题（2）
2008年华中各省中考数学几何解答题【厦门学子分类】
（08河南省卷18题）18．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接
BQ、CP，则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

（08河南省卷20题）20．（9分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，
∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： ，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

（08河南省卷21题）21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．

（08湖南长沙19题）19、在下面的格点图中，每个小正方形的边长均为1个单位，请按下列要求画出图形：
（1）画出图①中阴影部分关于O点的中心对称图形；
（2）画出图②中阴影部分向右平移9个单位后的图形；
（3）画出图③中阴影部分关于直线AB的轴对称图形.

（图①） （图②） （图③）

（08湖南长沙19题解答）图略（“2008”字样），三部分图形各2分，共6分．

（08湖南长沙24题）24、（本题满分8分）如图，在□ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

（08湖南长沙24题解答）(1)证明略； （4分）
(2)当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形， （6分）
四边形ABCD的高为 ， （7分）
∴菱形AECF的面积为2 ． （8分）

（08湖南常德21题）21．如图4，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，
求证：PC是⊙O的切线．

（08湖南常德21题解答）证明：连接OC，
∵PA⊥AB， ∴∠PA0=900，…………1分
∵PO过AC的中点M，OA=OC，
∴PO平分∠AOC，
∴∠AOP=∠COP .……………………3分
∴在△PAO与△PCO中有
OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO,
∴△PAO≌△PCO, …………… 6分
∴∠PCO=∠PA0=900,
即PC是⊙O的切线．… ………… 7分

（08湖南常德23题）23．如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
解（1）

（08湖南常德23题解答）解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：
① ② ，①③， ①④， ②③， ②④， ③④……………2分
其中有两组（①③， ②④）是相似的．
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P= …………4分
（2）证明：选择①、③证明．
在△AOB与△COD中, ∵AB‖CD,
∴∠CDB＝∠DBA , ∠DCA＝∠CAB,
∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB＝∠CAB,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB＝∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分
∴∠ADO＝∠BCO.
又∠DOA＝∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分

（08湖南常德26题）26． 如图9，在直线 上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形
△A1B1C，并求出AB1的长度；
（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线 垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形
△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A2B1C1沿直线 向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少？

（08湖南常德26题解答）

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°= ，
∴AB1=AC+C B1=AC+CB= .……………………………………2分
(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：
∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1‖DE
又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分
（3）由题意可知：
S△ABC= ，
① 当 或 时，y＝0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分
②当 时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x－2）㎝，则y＝ ,
当y= S△ABC= 时，即 ，
解得 （舍）或 .
∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当 时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即 ……………7分
④当 时,B2G=B2C2-GC2=2－( －8)=10-
则y＝ ,
当y= S△ABC= 时，即 ，
解得 ,或 (舍去).
∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分
由以上讨论知,当 或 时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分

（08湖南郴州21题）21．作图题：
如图6，先将ΔABC向下平移4个单位得到 ，再以直线l为对称轴将 作轴反射得到 ，请在所给的方格纸中依次作出 和 ．

（08湖南郴州21题解答） 正确作出图形，每个3分（图略） 6分

（08湖南郴州22题）22．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为 ，B村的俯角为 （．如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据 ）

（08湖南郴州22题解答）．解：根据题意得: ，
所以 ，所以 ，
所以AB=PB 3分
在 中， ，PC=450，
所以PB = 5分
所以 (米)
答：略． 6分

（08湖南郴州24题）24．如图8，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．

（08湖南郴州24题解答）四边形ABCD为菱形 2分
理由是：
由翻折得△ABC≌△DBC．所以 4分
因为△ABC为等腰三角形，
所以
所以AC＝CD＝AB＝BD， 7分
故四边形ABCD为菱形 8分
注：如果学生只答四边形ABCD为平行四边形给1分，说理正确，给5分，共6分．

（08湖南怀化24题）24．（本题满分7分）
如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1） ；
（2）

（08湖南怀化24题解答） 证明：（1） 四边形 和四边形 都是正方形

3分
4分
（2）由（1）得
7分
∴ AMN∽ CDN 6分

（08湖南怀化25题）25．(本题满分7分)
如图11，已知△ 的面积为3，且AB=AC，现将△ 沿CA方向平移CA长度得到△ ．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求AC的长．

（08湖南怀化25题解答）解：（1）由平移的性质得

． 3分
（2） ．证明如下：由（1）知四边形 为平行四边形

5分

（08湖南怀化26题）26． (本题满分7分)
某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示， ，斜坡 长 ，坡度 ．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离 的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 削进到 处，问 至少是多少米？

（08湖南怀化26题解答）

（08湖南湘潭18题）18.（本题满分6分）
如图方格纸中每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC的顶点在格点上，点B的坐标为（5，－4），请你作出 ，使 与 ABC关于y轴对称，并写出 的坐标.

（08湖南湘潭18题解答）作图（略） 4分
点 的坐标为（-5，-4） 6分

（08湖南湘潭20题）20.（本题满分6分）
如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.

（08湖南湘潭20题解答）解：（1） ． 2分
（2） 四边形 是矩形，
3分
又 4分
5分
6分

（08湖南湘潭24题）24．（本题满分8分）
如图所示， 的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作 的切线，切点为C，连结AC.
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小.

（08湖南湘潭24题解答）解：（1）连结OC，
为 的切线，
4分
（2） 的大小没有变化 5分
6分
7分

8分

（08湖南益阳18题）18．如图8，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE‖BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.

（08湖南益阳18题解答）解：（1）∵DE‖BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝ 3分
（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点
∵DE‖BC，∴E为AB的中点，
∴DE＝ 6分

（08湖南益阳22题）22. △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE‖F’E’交BC于E，FG‖F′G′交AB于G，GD‖G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.

（08湖南益阳22题解答）Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 2分
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° 3分
∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得 7分
由△AGF∽△ABC得： 9分
解之得： (或 ) 10分

解法二：设正方形的边长为x，则 7分
在Rt△BDG中，tan∠B= ，
∴ 9分
解之得： (或 ) 10分
解法三：设正方形的边长为x，
则 7分
由勾股定理得： 9分
解之得： 10分
Ⅱb.解： 正确 6分
由已知可知，四边形GDEF为矩形 7分
∵FE‖F’E’ ，
∴ ，
同理 ，
∴
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形 10分

（08湖南益阳23题）23. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

(3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.

（08湖南益阳23题解答）解：(1)过C点作CG⊥AB于G，
在Rt△AGC中，∵sin60°= ，∴ 1分
∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分

(2)菱形 4分
∵CD‖BF， FC‖BD，∴四边形CDBF是平行四边形 5分
∵DF‖AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF 6分
∴四边形CDBF是菱形 7分
(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)
(3)解法一：过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE= 8分
又S△ADE= ， 9分
∴在Rt△DHE’中，sinα= 10分
解法二：∵△ADH∽△ABE 8分
∴
即：
∴ 9分
∴sinα= 10分

（08湖南永州19题）19．（6分）如图所示，左边方格纸中每个正方形的边长均为a，右边方格纸中每个正方形的边长均为b，将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°，并按b:a的比例画在右边方格纸中．

（08湖南永州19题）（6分）

（08湖南永州22题）22．（8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF‖AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

（08湖南永州22题解答）（8分）
（1）证明： 与 都是等边三角形

1分
2分
又
3分
四边形 是菱形 4分
（2）解：连结 ，与 相交于点 5分
由 ，可知 6分
7分
8分

（08湖南永州24题）24．（10分）如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．

三、中考数学有关“四边形”的易错点有哪些？

易错点就是定理记不清楚，比如平行四边形是两组对边分别平行，或者一组对边平行且相等，有的同学就搞混了以为两组对边相等就是平行四边形，这样是不对的，必须严格按照课本上写的来，不能自己想当然