解三角形的几个要点，正弦定理、余弦定理，经典例题示范

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解三角形的几个要点，正弦定理、余弦定理，经典例题示范

初中数学解三角形的知识点总结

高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

一、解三角形的几个要点，正弦定理、余弦定理，经典例题示范

最近几年高考数学都有一道解答题是解三角形的。解三角形，难度不大，但也可以拦住很大一部分同学。

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

解三角形，总的来说，就是正弦定理和余弦定理的运用。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

解三角形，这里总结了几个要点，供同学们参考。

一，解三角形的几个要点。

二，做几道解三角形的相关例题。

例一：

例一，解法参考：

例二，及解法参考：

例三，及解法参考：

三，由三角形的三边a,b,c直接求出三角形的面积，怎么求？

请读者尝试用余弦定理推导海伦公式、秦九韶的“三斜求积”公式。

尽管求证海伦公式是教材课后习题，但是，很多同学在高中三年都没有尝试去求证海伦公式。

一、初中数学解三角形的知识点总结

很多同学都学过解三角形，我整理了一些三角形的知识点，大家一起来看看吧。

《解三角形》知识点总结

1.正弦定理及其变形

(1)正弦定理、三角形面积公式：

===2R(R是三角形外接圆半径）

S=bcsinA=absinC=acsinB.

(2)正弦定理的变形：

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

②sinA=,sinB=,sinC=；

③sinA：sinB：sinC=a:b:c

(3)正弦定理的适用范围：

①已知两角及一边；

②已知两边及一边对角（注意这种情况下三角形解的个数的判断).

2.余弦定理及其变形

(1)余弦定理：a=b+c–2bccosA

(2)变形公式：cosA=

(3)余弦定理的适用范围：

①已知两边及其夹角求第三边（直接套用余弦定理）；

②已知三边求三个角（套用余弦定理的变式形式）；

③已知两边及一边对角（套用余弦定理求解关于第三边的一元二次方程）.

(4)锐角、直角、钝角三角形的判断

b+c–a>0⟺A是锐角；

b+c–a＝0⟺A是直角；

b+c–a<0⟺A是钝角；

3.三角形内角和定理

A+B+C=π

sin(B+C)=sin(π–A)=sinA

cos(B+C)=cos(π–A)=–cosA

(应用三角形内角和定理可实现角之间的代换）

《三角函数及三角恒等变换》知识点总结

1.特殊角的三角函数

2.诱导公式

sin(π–α)=sinα；sin(π＋α)=–sinα；sin(2π–α)=–sinα；sin(–α)=–sinα

cos(π–α)=–cosα；cos(π＋α)=–cosα；cos(2π–α)=cosα；cos(–α)=cosα；

口诀：正弦一、二象限为正；余弦一、四象限为正

3.同角三角函数关系

sinα+cosα=1；tanα=

4.和差角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ异名、不变号

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ；cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ同名、变号

5.二倍角公式

sin2α=2sinαcosα；cos2α=cosα–sinα降幂公式：cosα=

=1–2sinαsinα=

=2cosα–1

6.辅助角公式

asinA+bcosA

=(sinA+cosA)令cosφ＝，sinφ=

=(sinAcosφ+cosAsinφ)

＝sin(A+φ)(φ为辅助角，且tanφ=)

eg.sinα+cosα=2(sinα+cosα)=2(sinαcos30+cosαsin30)=2sin(α+30)

解直角三角形知识点

1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度；(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方；(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c；(4)面积的公式s=ab／2；此外还有射影定理，内外切接圆的半径。

2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角；(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)；(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边；(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。

解三角形例题

以上就是一些解三角形的相关信息，供大家参考。

二、高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

1.根据正弦定理和余弦定理公式解三角形（余弦定理中要注意骄傲的的取值个数）
2.三角形解的个数的讨论：若已知a,b,A,由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m,由此试进一步求三角形时，需结合sinB的取值范围及A+B＜180°来讨论：
（1）若m＞1时，则不存在这样的角B，故三角形无解；
（2）若m≤1，则在[0°，180°]内存在角B，但此时三角形是否有解还需继续讨论。
①当m=1时，则B=90°，
a.若此时A＜90°，则三角形有一解；
b.
.若此时A≥90°，则三角形无解。
②当0＜m＜1时，满足sinB=m的B为锐角时设为α，B为钝角时设为β。则
a.当A+α＞180°时，三角形无解；
b.当A+α＜180°时，三角形有解；
c..当A+β＜180°时，三角形有两解；
d.当A+β≥180°时，三角形无解。
3.利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状（主要是公式的换算）
4利用正弦定理和余弦定理证明恒等式（主要是公式的换算）
5.求三角形的面积：公式：S△=½ah^a=½absinC=(abc)/4R=½（a+b+c)r=√p(p-a)(p-b)(p-c)
(海伦公式）=½√（
|向量AB|×|向量AC|)^2-（向量AB×向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA
其中r为△ABC内切圆半径，R为△ABC外接圆半径，P=½（a+b+c)
6应用举例：①测量距离
②测量高度
③测量角度

三、高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

1.根据正弦定理和余弦定理公式解三角形（余弦定理中要注意骄傲的的取值个数）
2.三角形解的个数的讨论：若已知a,b,A,由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m,由此试进一步求三角形时，需结合sinB的取值范围及A+B＜180°来讨论：
（1）若m＞1时，则不存在这样的角B，故三角形无解；
（2）若m≤1，则在[0°，180°]内存在角B，但此时三角形是否有解还需继续讨论。
①当m=1时，则B=90°，
a.若此时A＜90°，则三角形有一解；
b.
.若此时A≥90°，则三角形无解。
②当0＜m＜1时，满足sinB=m的B为锐角时设为α，B为钝角时设为β。则
a.当A+α＞180°时，三角形无解；
b.当A+α＜180°时，三角形有解；
c..当A+β＜180°时，三角形有两解；
d.当A+β≥180°时，三角形无解。
3.利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状（主要是公式的换算）
4利用正弦定理和余弦定理证明恒等式（主要是公式的换算）
5.求三角形的面积：公式：S△=½ah^a=½absinC=(abc)/4R=½（a+b+c)r=√p(p-a)(p-b)(p-c)
(海伦公式）=½√（
|向量AB|×|向量AC|)^2-（向量AB×向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA
其中r为△ABC内切圆半径，R为△ABC外接圆半径，P=½（a+b+c)
6应用举例：①测量距离
②测量高度
③测量角度