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解三角形-一题多解(正弦定理、余弦定理,面积公式)

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  • 一、解三角形-一题多解(正弦定理、余弦定理,面积公式)

    在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,三角形ABC的外接圆的半径为且满足

    (1)求B、b的值;

    (2)求三角形ABC面积的最大值。

    分析:

    解:

    (1)方法一正弦定理:由正弦定理有

    又∵,∴,∴,

    又∵,∴,

    方法二余弦定理:由余弦定理有

    整理得:,即:,∴,

    又∵,∴,

    (2)方法一面积公式:

    ∵∴,

    ∴当,即时,

    ∴.

    方法二余弦定理:

    ∵.

    ∴.

    一、正弦定理和余弦定理的所有公式

    正弦定理、三角形面积公式

    正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

    面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.

    1.正弦定理的变形及应用

    变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

    (2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

    (3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.

    应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:

    a.已知两角和任一边,求其他两边和一角.

    b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.

    一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.

    (2)正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.

    2.余弦定理

    在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;

    变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab

    在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解),这个过程叫做解三角形,余弦定理的主要作用是解斜三角形.

    3.解三角形问题时,须注意的三角关系式:A+B+C=π

    0

    sinA+B/2=sinπ-c/2=cosC/2

    sin(A+B)=sinC

    特别地,在锐角三角形中,sinA

    正弦定理热点考题解析

    二、解三角形公式

    解三角形,常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。
    一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。
    已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

    三、解三角形公式是什么?

    一、正弦定理

    a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。

    变形公式

    (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

    (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c

    (3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB

    (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

    二、余弦定理

    a²=b²+c²-2bccosA

    b²=a²+c²-2accosB

    c²=a²+b²-2abcosC

    扩展资料

    传统的平面几何学通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系,却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。如果我们能够讨论角和边之间的数量关系,然后讨论边与面积之间的数量关系,我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。

    对于角和边之间的定量关系,虽然我们也有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理,再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的(根号3)/2倍,但这些都仅仅是针对“特殊值”加以讨论,从而很难推广到一般性(任意值)的讨论 。

    关于余弦定理的问题,通过《解三角形公式》、《解三角形公式是什么?》等文章的解答希望已经帮助到您了!如您想了解更多关于余弦定理的相关信息,请到本站进行查找!

    本文标签:余弦定理(5)

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