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一、解三角形-一题多解(正弦定理、余弦定理,面积公式)
在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,三角形ABC的外接圆的半径为且满足
(1)求B、b的值;
(2)求三角形ABC面积的最大值。
分析:
解:
(1)方法一正弦定理:由正弦定理有
∴
∴
又∵,∴,∴,
又∵,∴,
∴
方法二余弦定理:由余弦定理有
整理得:,即:,∴,
又∵,∴,
∴
(2)方法一面积公式:
∵∴,
∴
∴当,即时,
∴.
方法二余弦定理:
∵.
∴
∴.
一、正弦定理和余弦定理的所有公式
正弦定理、三角形面积公式
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.
1.正弦定理的变形及应用
变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.
应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:
a.已知两角和任一边,求其他两边和一角.
b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.
一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.
(2)正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.
2.余弦定理
在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;
变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab
在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解),这个过程叫做解三角形,余弦定理的主要作用是解斜三角形.
3.解三角形问题时,须注意的三角关系式:A+B+C=π
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