2012年全国统一高考数学试卷（理科新课标）附有详细解析

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2012年全国统一高考数学试卷（理科新课标）附有详细解析

12陕西高考答案数学

2006--2012年宁夏新课标高考试卷理综，数学 ，语文，英语(word附答案解析的) ,

2012年天津高考数学答案

一、2012年全国统一高考数学试卷（理科新课标）附有详细解析

2012年全国统一高考数学试卷（理科新课标）附有详细解析

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一、12陕西高考答案数学

希望能帮到你，
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 ；,则 中所含元素
的个数为（ ）

【解析】选
， ， ， 共10个
（2）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
种 种 种 种
【解析】选
甲地由 名教师和 名学生： 种
（3）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为

【解析】选

， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为

（4）设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点，
是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ）

【解析】选
是底角为 的等腰三角形
（5）已知 为等比数列， ， ，则 （ ）

【解析】选
， 或

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 和
实数 ，输出 ，则（ ）
为 的和
为 的算术平均数
和 分别是 中最大的数和最小的数
和 分别是 中最小的数和最大的数
【解析】选

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为

（8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于
两点， ；则 的实轴长为（ ）

【解析】选
设 交 的准线 于
得：

（9）已知 ，函数 在 上单调递减。则 的取值范围是（ ）

【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另： ，
得：

（10）已知函数 ；则 的图像大致为（ ）

【解析】选

得： 或 均有 排除
（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形，
为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）

【解析】选
的外接圆的半径 ，点 到面 的距离
为球 的直径 点 到面 的距离为
此棱锥的体积为
另： 排除
（12）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）

【解析】选
函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量 夹角为 ，且 ；则
【解析】

(14) 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应四边形 边际及内的区域：
则

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布 ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过1000小时的概率为

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
（16）数列 满足 ，则 的前 项和为
【解析】 的前 项和为
可证明：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知 分别为 三个内角 的对边，
（1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 。
【解析】（1）由正弦定理得：

（2）

解得： （l fx lby）

18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量
（单位：枝， ）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由。
【解析】（1）当 时，
当 时，
得：
（2）（i） 可取 ， ，

的分布列为

（ii）购进17枝时，当天的利润为

得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱 中， ，
是棱 的中点，
（1）证明：
（2）求二面角 的大小。
【解析】（1）在 中，
得：
同理：
得： 面
（2） 面
取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接
，面 面 面
得：点 与点 重合
且 是二面角 的平面角
设 ，则 ，
既二面角 的大小为
（20）（本小题满分12分）
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心，
为半径的圆 交 于 两点；
（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；
（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，
求坐标原点到 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边
点 到准线 的距离

圆 的方程为
（2）由对称性设 ，则
点 关于点 对称得：
得： ，直线
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。（lfx lby）

（21）（本小题满分12分）
已知函数 满足满足 ；
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值。
【解析】（1）
令 得：

得：

在 上单调递增

得： 的解析式为
且单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2） 得
①当 时， 在 上单调递增
时， 与 矛盾
②当 时，
得：当 时，

令 ；则

当 时，
当 时， 的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 分别为 边 的中点，直线 交
的外接圆于 两点，若 ，证明：
（1） ；
（2）
【解析】（1） ，

（2）

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，
且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。
【解析】（1）点 的极坐标为
点 的直角坐标为
（2）设 ；则

（lfxlby）

（24）（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围。
【解析】（1）当 时，
或 或
或
（2）原命题 在 上恒成立
在 上恒成立

在 上恒成立

2012年高考文科数学试题解析（全国课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=Æ
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.
【解析】A=（－1,2），故BA，故选B.
（2）复数z＝ 的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.
【解析】∵ = = ，∴ 的共轭复数为 ，故选D.
（3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.
【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
（4）设 , 是椭圆 ： =1（ ＞ ＞0）的左、右焦点， 为直线 上一点，△ 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
. . . .
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.
（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则 的取值范围是
（A）(1－，2) （B）(0，2)
（C）(－1，2) （D）(0，1+)
【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.
【解析】有题设知C(1+ ,2)，作出直线 ： ，平移直线 ，有图像知，直线 过B点时， =2，过C时， = ，∴ 取值范围为(1－，2)，故选A.
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( ≥2)和实数 ， ，…， ，输出 ， ，则
. + 为 ， ，…， 的和
. 为 ， ，…， 的算术平均数
. 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数
. 和 分别为 ， ，…， 中的最小数和最大数
【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题.
【解析】由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值， 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数，故选C.
21世纪教育网（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
.6 .9 .12 .18
【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题.
【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为 =9，故选B.
(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
【命题意图】
【解析】
（9）已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 =
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.
【解析】由题设知， = ，∴ =1，∴ = （ ），
∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故选A.
（10）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 、 两点， = ，则 的实轴长为
. . .4 .8
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的实轴长为4，故选C.
(11)当0< ≤时， ，则a的 取值范围是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.
【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ，解得 ，故选A.
（12）数列{ }满足 ，则{ }的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.
【解析】【法1】有题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，
=11， =13， =15， =17， =19， ，
……
∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24， =2， =40，…，
∴ ， ， ，…，是各项均为2的常数列， ， ， ，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{ }的前60项和为 =1830.
【法2】可证明：

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)曲线 在点（1,1）处的切线方程为________
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.
【解析】∵ ，∴切线斜率为4，则切线方程为： .
(14)等比数列{ }的前n项和为Sn，若S3+3S2=0， 则公比 =_______
【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.
【解析】当 =1时， = ， = ，由S3+3S2=0得 ， =0，∴ =0与{ }是等比数列矛盾，故 ≠1，由S3+3S2=0得 ， ，解得 =－2.
(15) 已知向量 ， 夹角为 ，且| |=1，| |= ，则| |= .
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题.
【解析】∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）
(16)设函数 =的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题.
【解析】 = ，
设 = = ，则 是奇函数，
∵ 最大值为M，最小值为 ，∴ 的最大值为M-1，最小值为 －1，
∴ ， =2.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知 ， ， 分别为 三个内角 , , 的对边， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 =2， 的面积为 ，求 ， .
【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题.
【解析】(Ⅰ)由 及正弦定理得

由于 ，所以 ，
又 ，故 .
(Ⅱ) 的面积 = = ,故 =4，
而 故 =8，解得 =2.

18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天 玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天 的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.
【解析】（Ⅰ）当日需求量 时，利润 =85；
当日需求量 时，利润 ，
∴ 关于 的解析式为 ；
（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
=76.4；
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为

（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。
(I) 证明：平面 ⊥平面
（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥ ,BC⊥AC， ,∴ 面 , 又∵ 面 ，∴ ,
由题设知 ,∴ = ,即 ,
又∵ , ∴ ⊥面 , ∵ 面 ，
∴面 ⊥面 ；
（Ⅱ）设棱锥 的体积为 ， =1，由题意得， = = ，
由三棱柱 的体积 =1，
∴ =1:1， ∴平面 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
（20）（本小题满分12分）设抛物线 ： （ ＞0）的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 , 两点.
(Ⅰ)若 , 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；
(Ⅱ)若 ， ， 三点在同一条直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 ， 距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线 于 轴的焦点为E，圆F的半径为 ，
则|FE|= ， = ，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，
设A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ，
∵ 的面积为 ，∴ = = = ，解得 =2，
∴F(0,1), FA|= ， ∴圆F的方程为： ；
(Ⅱ) 【解析1】∵ ， ， 三点在同一条直线 上, ∴ 是圆 的直径， ,
由抛物线定义知 ，∴ ，∴ 的斜率为 或－ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
设直线 的方程为： ，代入 得， ，
∵ 与 只有一个公共点， ∴ = ，∴ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
∴坐标原点到 ， 距离的比值为3.
【解析2】由对称性设 ，则
点 关于点 对称得：
得： ，直线
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。
（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲
如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.
【解析】(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，
∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 :的极坐标方程是 =2，正方形ABCD的顶点都在 上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， ）.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；
(Ⅱ)设P为 上任意一点，求 的取值范围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得 ， ，
， ，
即A(1， )，B（－ ，1），C（―1，― ），D（ ，－1），
(Ⅱ)设 ，令 = ，
则 = = ，
∵ ，∴ 的取值范围是[32,52].

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数 = .
(Ⅰ)当 时，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若 ≤ 的解集包含 ，求 的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.
【解析】(Ⅰ)当 时， = ，
当 ≤2时，由 ≥3得 ，解得 ≤1；
当2＜ ＜3时， ≥3，无解；
当 ≥3时，由 ≥3得 ≥3，解得 ≥8，
∴ ≥3的解集为{ | ≤1或 ≥8}；
(Ⅱ) ≤ ，
当 ∈[1,2]时， = =2，
∴ ，有条件得 且 ，即 ，
故满足条件的 的取值范围为[－3,0].

二、2006--2012年宁夏新课标高考试卷理综，数学 ，语文，英语(word附答案解析的) ,

绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）
文科数学
新课标(宁、吉、黑、晋、豫、新)试卷
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=Æ
（2）复数z＝的共轭复数是
（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
3、在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
（4）设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是
（A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+)
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则
（A）A+B为a1,a2,…,aN的和
（B）为a1,a2,…,aN的算术平均数
（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
（D）A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
开始
A=x
B=x
x＞A
否
输出A，B
是
输入N，a1,a2,…,aN
结束
xk≥N
k=1,A=a1,B=a1
k=k+1
x =ak
是
否
否
是

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18

(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
（A） （B） （C） （D）
（10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为
（A） （B）2 （C）4 （D）8
(11)当0（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
（12）数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________
(14)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______
(15)已知向量a,b夹角为45° ，且|a|=1，|2a－b|=，则|b|=
(16)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA
(1) 求A
(2) 若a=2，△ABC的面积为，求b,c

18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（20）（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

（21）（本小题满分12分）
设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD

(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.
(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

参考答案

三、2012年天津高考数学答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）

本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟
第I卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 是虚数单位，复数 =
（A） 　（B） 　　　（C） 　　　（D）
1．B
【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.
【解析】 = = =
（2）设 ，则“ ”是“ 为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2．A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.
【解析】∵ 为偶函数，反之不成立，∴“ ”是“ 为偶函数”的充分而不必要条件.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 的值为 时，输出 的值为
（A） 　（B） 　　　（C） 　　　（D）
3．C
【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.
【解析】根据图给的算法程序可知：第一次 ，第二次 ，则输出 .
（4）函数 在区间 内的零点个数是
（A）0 　（B）1　　　（C）2　　　（D）3
4．B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法1：因为 ， ，即 且函数 在 内连续不断，故 在 内的零点个数是1.
解法2：设 ， ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.

（5）在 的二项展开式中， 的系数为
（A）10 　（B）-10　　　（C）40　　　（D）-40
5．D
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.
【解析】∵ = ，∴ ，即 ，∴ 的系数为 .
（6）在△ABC中，内角 ， ， 所对的边分别是 ，已知 ， ，则cosC=
（A） 　（B） 　　　（C） 　　　（D）
6．A
【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.
【解析】∵ ，由正弦定理得 ，又∵ ，∴ ，所以 ，易知 ，∴ ， = .
（7）已知△ABC为等边三角形， ，设点P，Q满足 ， ， ，若 ，则
（A） 　（B） 　　　（C） 　　　（D）
7．A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵ = ， = ，
又∵ ，且 ， ， ，∴ ， ，所以 ，解得 .

（8）设 ， ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是
（A） （B）
（C） 　　　（D）
8．D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线 与圆 相切，∴圆心 到直线的距离为 ，所以 ，设 ，
则 ，解得 .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.
9．18，9
【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.
【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，
所以应从小学中抽取 ，中学中抽取 .
（10）―个几何体的三视图如图所示(单位： )，则该几何体的体积为 .

10．
【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： = .
（11）已知集合 ，集合 ,且 ，则 , .
11． ，
【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.
【解析】∵ = ,又∵ ，画数轴可知 ， .
（12）己知抛物线的参数方程为 （ 为参数），其中 ，焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作的垂线，垂足为 ，若 ，点 的横坐标是3，则 .
12．2
【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.
【解析】∵ 可得抛物线的标准方程为 ，∴焦点 ，∵点 的横坐标是3，则 ，所以点 ，
由抛物线得几何性质得 ，∵ ，∴ ，解得 .
（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F， ， ， ，则线段 的长为 .

13．
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵ ， ， ，由相交弦定理得 ，所以 ，又∵BD∥CE，∴ ， = ，设 ，则 ，再由切割线定理得 ，即 ，解得 ，故 .
（14）已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，则实数 的取值范围是 .
14．
【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.
【解析】∵函数 的图像直线恒过定点 ，且 ， ， ，∴ ， ， ，由图像可知 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）已知函数 ， .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.
（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变量 的分布列与数学期望 .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.
（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥 中， 丄平面 ， 丄 ， 丄 ， ， ， .
(Ⅰ)证明 丄 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱 上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为 ，求AE的长.
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊
的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.

（18）(本小题满分13分）已知{ }是等差数列，其前 项和为 ，{ }是等比数列,且 =
， ， .
(Ⅰ)求数列{ }与{ }的通项公式；
(Ⅱ)记 ， ，证明 .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.

（19）（本小题满分14分）设椭圆 的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点， 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 ，证明直线 的斜率 满足 .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】

（20）（本小题满分14分）已知函数 的最小值为 ，其中 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对任意的 ,有 成立，求实数 的最小值；
（Ⅲ）证明 .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.