班主任：我将高中数学必修一知识点，汇成55页笔记，5天准吃透

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班主任：我将高中数学必修一知识点，汇成55页笔记，5天准吃透

高一数学必修一知识点整理大全

高中数学必修1知识点

高一数学必修一集合知识点总结

一、班主任：我将高中数学必修一知识点，汇成55页笔记，5天准吃透

班主任：我将高中数学必修一知识点，汇成55页笔记，5天准吃透

数学是高考科目中最难的科目之一，好多同学学习起来比较困难，高中数学的难度相对于初中数学提高了不止一个点，很多同学学不懂进而影响学习的积极性，成绩一落千丈，其实主要原因还是因为没有打好基础和不了解高中数学的特点。

今天小编给大家分享的是高中数学必修一超全知识点，高中三年都适用。

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一、高一数学必修一知识点整理大全

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面是我给大家带来的 高一数学 必修一知识点整理大全，以供大家参考!

高一数学必修一知识点整理大全

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性;

2.元素的互异性;

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的 篮球 队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}

2.集合的表示 方法 ：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果A?BB?C那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集与并集的性质：A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A，A∪A=A

A∪φ=AA∪B=B∪A.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

高中数学知识点 总结

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 28=2×2×7

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、 ??

3的倍数有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

高一数学知识点总结

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

数学必修一知识点整理

集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：XKb1.Com

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集：N_或N+

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

1)列举法：{a,b,c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时，

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

3.实数指数幂的运算性质

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

函数的应用

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

1(代数法)求方程的实数根;

2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数.

1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

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二、高中数学必修1知识点

高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法.
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B
① 任何一个集合是它本身的子集.AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB 同时 BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合,A是S的一个子集（即 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
S

CsA

A

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.
发现解题中的错误.
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f：A B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说,则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数.
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

三、高一数学必修一集合知识点总结

　　集合作为高中数学教材的第一章,它是一种数学语言,在后续的学习中是一种重要的工具。下面是我给大家带来的高一数学必修一集合知识点总结，希望对你有帮助。

　　高一数学必修一集合知识点

　　集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

　　集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

　　集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

　　元素与集合的关系

　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

　　集合与集合之间的关系

　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

　　集合的几种运算法则

　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示

　　素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

　　1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB={x│x∈A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

　　集合元素的性质

　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

　　集合有以下性质

　　若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

　　集合的表示方法

　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

　　常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

　　4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合