高三数学知识点-概率与统计

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高三数学知识点-概率与统计

高考数学知识点归纳整理

高三数学重点知识点

概率统计知识点归纳有哪些？

一、高三数学知识点-概率与统计

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则η=aξ+b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则f（ξ）也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x₁，x₂，....，xi，...

ξ取每一个值x₁（i=1,2，....）的概率P(ξ=xi)=Pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

ξ

x₁

x₂

...

xi

...

P

P₁

P₂

...

Pi

...

有性质①P₁≥0,i=1,2,...； ②P₁+P₂+...+Pi+...=1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：ξ∈[0,5]即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：

[其中k=0,1,...,n,q1-p]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p），其中n，p为参数，并记

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Aκ，事A不发生记为Aκ,P(Aκ)=q，那么P(ξ=κ)=P(A₁A₂...Aκ-1Aκ).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξ=κ)=P(A₁)P(A₂)..P(Aκ-1)P(Aκ)=q(k-1)次方p(k=1,2,3...)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

ξ

1

2

3

...

k

...

P

q

qp

q²p

...

q(k-1)次方p

...

我们称ξ服从几何分布，并记g（k，p）=q(k-1)次方p，其中q=1-p.k=1,2,3...

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1≤n≤N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时

，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把a+b个产品编号，则抽取n次共有（a+b）ⁿ个可能结果，等可能：（η=k）含

个结果，故

，即η～B·（n·a/(a+b)）.[我们先为k个次品选定位置，共

种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ=k)≈P(η=k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

x₁

x₂

...

xi

...

P

P₁

P₂

...

Pi

...

则称Eξ=₁p₁+x₂p₂+...+xnpn+...为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量η=aξ+b的数学期望：Eη=E(aξ+b) =aEξ+b

①当a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a=1时，E(ξ+b)=Eξ+b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当b=0时，E(aξ)=aEξ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：Eξ=c*1=c其分布列为：P(ξ=1)=c.

⑶两点分布：Eξ=0*q+1*p=p，其分布列为：（p + q = 1）

ξ

0

1

p

q

p

⑷二项分布：

其分布列为ζ～B(n,p).（P为发生ζ的概率）

⑸几何分布：Eζ=1/p 其分布列为ζ～q(k,p).（P为发生ζ的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为p(ζ=xκ)=pκ(k=1,2,...)时，则称

为ξ的方差. 显然Dζ≥0，故σξ=√Dζ.σζ为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dξ越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量η=aζ+b方差D(η)=D(aζ+b)=a²Dζ.（a、b均为常数）

ξ

0

1

P

q

p

⑵单点分布：Dζ=0其分布列为P(ζ=1)=p

⑶两点分布：Dζ=pq 其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：Dζ=npq

⑸几何分布：Dζ=q/p²

5. 期望与方差的关系.

⑴如果Eζ和Eη都存在，则E(ζ±η)=Eζ+Eη

⑵设ξ和ζ是互相独立的两个随机变量，则E(ζη)=Eζ*Eη,D(ζ+η)=Dζ+Dη

⑶期望与方差的转化：Dζ=Eζ² -(Eζ)²

⑷E(ζ-Eζ)=E(ζ)-E(Eζ)（因为Eζ为一常数）=Eζ-Eζ=0.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(-∞,+∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：

(x∈R,μ,σ为常数，且σ>0），称ξ服从参数为μ,σ的正态分布，用ζ～N(μ,σ²)表示.f(x)的表达式可简记为N(μ.σ²)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若ζ～N(μ,σ²)，则ξ的期望与方差分别为：Eζ=μ,Dζ=σ².

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线x=μ对称.

③当x=μ时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为

，则称ξ服从标准正态分布. 即ζ～N(0,1)有φ(x)=P(ζ≤x)，φ(x)=1-φ(-x)求出，而P（a＜ζ≤b）的计算则是P(a≤ζ≤b)=φ(b)-φ(a).

注意：当标准正态分布的Φ(x)的X取0时，有Φ(x)=0.5当Φ的X取大于0的数时，有Φ(x)>0.5.比如Φ(0.5-μ)/σ=0.0793<0.5则(0.5-μ)/σ必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ζ～N(μ,σ²)则ξ的分布函数通

常用F(x)表示，且有P(ζ≤x)=F(x)=φ[(x-μ)/σ].

4.⑴“3σ”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：

①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ,σ²).

②确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ).

③做出判断：如果a∈(μ-3σ,μ+3σ)，接受统计假设. 如果a∉(μ-3σ,μ+3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²)则 ξ落在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为99.7％ 亦即落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）

一、高考数学知识点归纳整理

高中数学涉及的知识点很多，需要把高中三年的数学知识点 总结 起来，这样比较有利于复习，下面是我为大家整理的高考数学知识点归纳整理，希望对大家有所帮助!

高考数学知识点归纳整理1

考数学知识点：两角和公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

高考数学知识点：圆的切线方程

(1)已知圆 .

①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率

②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为 ，再利用相切条件求b，必有两条切线.

(2)已知圆 .过圆上的 点的切线方程为

高考数学知识点：线线平行常用 方法 总结

(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。

(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。

(3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法

(4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

(5)线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。

(6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平 面相 交，则它们的交线平行。

高考数学知识点归纳整理2

高考数学知识点总结精华一

一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节

主要是考函数和导数，因为这是整个高中阶段中最核心的部分，这部分里还重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析。

二、平面向量和三角函数

对于这部分知识重点考察三个方面：是划减与求值，第一，重点掌握公式和五组基本公式;第二，掌握三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质;第三，正弦定理和余弦定理来解三角形，这方面难度并不大。

高考数学知识点总结精华二

三、数列

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

四、空间向量和立体几何

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

五、概率和统计

概率和统计主要属于数学应用问题的范畴，需要掌握几个方面：……等可能的概率;……事件;独立事件和独立重复事件发生的概率。

高考数学知识点总结精华三

六、解析几何

这部分内容说起来容易做起来难，需要掌握几类问题，第一类直线和曲线的位置关系，要掌握它的通法;第二类动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题;第五类重点问题，这类题往往觉得有思路却没有一个清晰的答案，但需要要掌握比较好的算法，来提高做题的准确度。

七、压轴题

同学们在最后的备考复习中，还应该把重点放在不等式计算的方法中，难度虽然很大，但是也切忌在试卷中留空白，平时多做些压轴题真题，争取能解题就解题，能思考就思考。

高考数学直线方程知识点：什么是直线方程

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行;有无穷多解时，两直线重合;只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角( 叫直线的倾斜角 )或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

高考数学知识点归纳整理3

1、空间立体几何的结构。包括棱柱，棱锥和棱台的结构特征。圆柱圆锥圆台和球的结构特征。

2、圆柱侧面积，圆锥侧面积，圆台侧面积，直棱柱侧面积，正棱柱侧面积和正棱台侧面积以及球的面积的求法。

3、柱、锥、台、球体积公式。

4、三视图和直观图。

5、线面平行的判断和性质。线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理。线面垂直的判定和性质。线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理;线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理。

6、统计：用样本估计总体。用样本的频率分布，估计总体的频率分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征、方差、标准差。变量间的相关关系与两个变量的线性关系。

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二、高三数学重点知识点

总结 是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律，因此我们要做好归纳，写好总结。那么总结有什么格式呢?下面是我给大家带来的 高三数学 重点知识点，以供大家参考!

高三数学重点知识点

1、课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

2、重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数、圆锥曲线

高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的'证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用

⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用

⒀复数：复数的概念与运算

高三数学知识点归纳总结

第一部分集合

(1)含n个元素的集合的子集数为2^n，真子集数为2^n—1;非空真子集的数为2^n—2;

(2)注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。

第二部分函数与导数

1、映射：注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。

2、函数值域的求法：①分析法;②配 方法 ;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法

3、复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为〔a，b〕，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出

②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域。

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数;

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数的定义域是内函数的值域。

4、分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5、函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;

⑵是奇函数;

⑶是偶函数;

⑷奇函数在原点有定义，则;

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性;

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性;

1、对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(—x)=—f(x)，那么f(x)为奇函数;

2、对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(—x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;

3、一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b—f(a—x)，则y=f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称;

4、一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a—x)，则它的图象关于x=a成轴对称。

5、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;

6、由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

高 三年级数学 知识点归纳

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被开方数大于等于零;

3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;

5、三角函数正切函数y=tanx中x+

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法;

2、换元法;

3、待定系数法;

4、函数方程法;

5、参数法;

6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法;

2、配方法;

3、判别式法;

4、几何法;

5、不等式法;

6、单调性法;

7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法;

2、换元法;

3、不等式法;

4、几何法;

5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数。

2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数。

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的.单调性不同，则f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)。

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

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三、概率统计知识点归纳有哪些？

概率统计知识点归纳有如下：

1、随机变量：对事件发生的各个结果联系数字进行定义，创造出一个随着结果不同而变化的实值单值函数就是随机变量。

2、频率与概率：频率在试验趋于无穷时等于概率。概率具有非负性，可列可加性。

3、中心极限定理：大量随机因素（变量）共同作用下（构成统计量）的分布近似于正态分布。

4、区间估计：本质依然是通过样本估计未知参数，构造枢轴量（不依赖未知参数确定分布类型的统计量）。

5、分布函数和概率密度：分布函数和分布率体现出随机变量取不同值时的概率，概率密度体现出随机变量取值的密集成程度。