一文读懂高中数学必修 5（人教版）

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高二数学必修五知识点总结

高二数学必修五教学知识点

速求 高中数学人教版必修5/选修六知识归纳

一、一文读懂高中数学必修 5（人教版）

高中数学必修 5 知识点

第一章：解三角形

一、正弦定理和余弦定理

二、解三角形

处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解"边边角"型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解

1、三角形中的边角关系

（1）三角形内角和等于 180°；

（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；

（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中 R 是△ ABC 外接圆半径.

2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形

（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.

（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.

（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.

（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.

（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.

3、利用正、余弦定理判断三角形的形状

常用方法是：①化边为角；②化角为边.

4、三角形中的三角变换

三、解三角形的应用

1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用 i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即 tani .

2.俯角和仰角：

如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.

3. 方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为α .

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

4. 方向角：相对于某一正方向的水平角.

第二章：数列

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式

数列可看作是定义域为正整数集 （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；

（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列{an} ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，那么这个数列叫做递增数列;

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，那么这个数列叫做递减数列;

如果数列{an} 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列

1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

2、等差数列的通项公式：

3、等差中项：

4、等差数列的性质：

5、等差数列的前 n 项和 Sn ：

6、等差数列前 n 和的性质：

7、等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题：

设等差数列{an} 的首项为 a1, 公差为d ，则

三、等比数列

1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（ q≠0 ）.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列{an} 的首项为 a1 ，公比为q ，则通项公式为：

3、等比中项：

4、等比数列的性质：

5、等比数列的前 n 项和：

6、等比数列的前 n 项和性质：

四、递推数列求通项的方法总结

1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.

2、两个恒等式：

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：

五、数列常用求和方法

1.公式法

直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n项和就变成了首尾少数项之和.

4.错位相减法

5、常用公式：

六、数列的应用

1、零存整取模型：

银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.

注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期.以符号 p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有 s=p(1+nr).

零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

2、定期自动转存模型：

银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第 1 年的本利和.

注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n.

定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.

采用分期付款的方法，购买售价为 a 元的商品（或贷款 a 元），，每期付款数相同，购买后 1 个月（或1 年）付款一次，如此下去，到第 n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为 b，按复利计算，那么每期付款 x 元满足下列关系：

设第 n 次还款后，本利欠款数为 an ，则

第三章：不等式

一、不等式的解法

1、不等式的同解原理：

原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；

原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；

原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。

2、一元二次不等式的解法：

一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标。

注意：

3、一元高次不等式的解法：

解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。

数轴标根法原则：（1）"右、上"（2）"奇过，偶不过"

4、分式不等式的解法：

（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。

（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：

5、指数、对数不等式的解法：

6、含绝对值不等式的解法：

对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。

二、基本不等式

4、常用不等式：

三、简单的线性规划问题

1、二元一次不等式表示平面区域:

2、线性规划:

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题

3、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

（1）根据题意，设出变量 x、y；

（2）找出线性约束条件；

（3）确定线性目标函数 z=f（x，y）；

（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；

（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t（t 为参数）；

（6）观察图形，找到直线 f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案

附：必修5思维导图

一、高二数学必修五知识点总结

我们在学习当中认真预习好新的课程，上课专心听讲;不懂的及时请教老师或者同学。放学回来要认真把老师布置的作业完成，并且把课堂上学过的知识好好温习一遍;这样才能把学过的内容牢牢地记在脑子里。以下是我给大家整理的 高二数学 必修五知识点 总结 ，希望能帮助到你!

高二数学必修五知识点总结1

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N_

三、若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N_，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

高二数学必修五知识点总结2

一、不等关系及不等式知识点

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba

3.不等式的性质

(1)对称性：ab

(2)传递性：ab，ba

(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c

(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;

(5)可乘方：a0bn(nN，n

(6)可开方：a0

(nN，n2).

注意：

一个技巧

作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.

一种 方法

待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.

高二数学必修五知识点总结3

解三角形

1、三角形三角关系：A+B+C=180°;C=180°-(A+B);

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222

4、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外abc???2R. 接圆的半径，则有sin?sin?sinCsin

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC; abc，sin??，sinC?; 2R2R2R

a?b?cabc???③a:b:c?sin?:sin?:sinC;④. sin??sin??sinCsin?sin?sinC②化边为角：sin??6、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))

7、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?， 222222c2?a2?b2?2abcosC.

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

8、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?. 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角)

9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角)

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是???C的角?、?、C

的对边，则：

①若a?b?c，则C?90;②若a?b?c，则C?90;

③若a?b?c，则C?90.

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二、高二数学必修五教学知识点

人是在失败中长大，每一个名人背后都有不为人知的 故事 寒窗苦的读圣贤书，既然我们没在哪社会而感到高兴，既然古人为我们创造知识何必不去珍惜古人的汗水。下面是我给大家带来的 高二数学 必修五教学知识点，希望能帮助到你!

高二数学必修五教学知识点1

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定 方法 有:定义法(作差比较和作商比较)

导数法(适用于多项式函数)

复合函数法和图像法。

应用:比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性:

定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(_)与f(-_)的关系。f(_)-f(-_)=0f(_)=f(-_)f(_)为偶函数;

f(_)+f(-_)=0f(_)=-f(-_)f(_)为奇函数。

判别方法:定义法，图像法，复合函数法

应用:把函数值进行转化求解。

周期性:定义:若函数f(_)对定义域内的任意_满足:f(_+T)=f(_),则T为函数f(_)的周期。

其他:若函数f(_)对定义域内的任意_满足:f(_+a)=f(_-a),则2a为函数f(_)的周期.

应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)

平移变换y=f(_)→y=f(_+a),y=f(_)+b

注意:(ⅰ)有系数，要先提取系数。如:把函数y=f(2_)经过平移得到函数y=f(2_+4)的图象。

(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。

对称变换y=f(_)→y=f(-_),关于y轴对称

y=f(_)→y=-f(_),关于_轴对称

y=f(_)→y=f|_|,把_轴上方的图象保留，_轴下方的图象关于_轴对称

y=f(_)→y=|f(_)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数)

伸缩变换:y=f(_)→y=f(ω_),

y=f(_)→y=Af(ω_+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论:若f(a-_)=f(a+_)，则函数y=f(_)的图像关于直线_=a对称;

高二数学必修五教学知识点2

一、集合、简易逻辑(14课时，8个)

1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。

二、函数(30课时，12个)

1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。

三、数列(12课时，5个)

1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。

四、三角函数(46课时，17个)

1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。

五、平面向量(12课时，8个)

1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。

六、不等式(22课时，5个)

1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。

七、直线和圆的方程(22课时，12个)

1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。

八、圆锥曲线(18课时，7个)

1.椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质。

九、直线、平面、简单何体(36课时，28个)

1.平面及基本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5.直线和平面垂直的判定与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14.异面直线的距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球。

十、排列、组合、二项式定理(18课时，8个)

1.分类计数原理与分步计数原理;2.排列;3.排列数公式;4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理;8.二项展开式的性质。

十一、概率(12课时，5个)

1.随机事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一个发生的概率;4.相互独立事件同时发生的概率;5.独立重复试验。

选修Ⅱ(24个)

十二、概率与统计(14课时，6个)

1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估计;5.正态分布;6.线性回归。

十三、极限(12课时，6个)

1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四则运算;6.函数的连续性。

十四、导数(18课时，8个)

1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数;5.复合函数的导数;6.基本导数公式;7.利用导数研究函数的单调性和极值;8.函数的值和最小值。

十五、复数(4课时，4个)

1.复数的概念;2.复数的加法和减法;3.复数的乘法和除法;4.复数的一元二次方程和二项方程的解法。

高二数学必修五教学知识点3

考点一：求导公式。

例1.f(_)是f(_)13_2_1的导函数，则f(1)的值是3

考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数yf(_)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y

1_2，则f(1)f(1)2

，3)处的切线方程是例3.曲线y_32_24_2在点(1

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y_33_22_，直线l:yk_，且直线l与曲线C相切于点_0,y0_00，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f_a_3__1在R上是减函数，求a的取值范围。32

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6.设函数f(_)2_33a_23b_8c在_1及_2时取得极值。

(1)求a、b的值;

(2)若对于任意的_[0，3]，都有f(_)c2成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f_的极值步骤：

①求导数f'_;

②求f'_0的根;③将f'_0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f'_在各区间上取值的正负可确定并求出函数f_的极值。

考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，f__24_a。求导数f'_;(2)若f'10，求f_在区间2,2上的值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f_在区间a,b上的最值，要先求出函数f_在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数f(_)a_3b_c(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线_6y70垂直，导函数

(1)求a，b，c的值;f'(_)的最小值为12。

(2)求函数f(_)的单调递增区间，并求函数f(_)在[1,3]上的值和最小值。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

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三、速求 高中数学人教版必修5/选修六知识归纳

数学公式
第三章数列
1、常用公式： =
2、等差数列：⑴定义：若 为常数 ，则 是等差数列（证明等差数列的依据）；
⑵通项公式：① ；② ；③
⑶求和公式：① ；② ；③
⑷性质：① 若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则
②等差数列中 成等差数列；
③等差数列{ }中 =
3、等比数列：⑴定义：若 为常数 ，则 是等比数列（证明等比数列的依据）；
⑵通项公式：① ；② ；
⑶求和公式：① ；② ； ③
⑷性质：① 若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则 ;
②等比数列中 成比差数列；
③等比数列 中.
第四章三角函数
1、 任意圆中圆心角弧度的计算公式：____________；弧长公式：____________；扇形的面积公式：____________。（其中α的单位都是_______）
2、任意角的三角函数的定义：设 是一个任意大小的角， 的终边上任意的一点 ，它与原点的距离是r=_____则： ___， ___， ___， ___， ___， ___。
3、 同角三角函数间的基本关系式：
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α
（2）商数关系：
（3）倒数关系：sinα·cscα=1; cosα·secα=1; tanα·cotα=1
4、第一套诱导公式（函数名不变，符号看象限）
（1）sin(2kπ+α)＝_____，cos(2kπ+α)＝_____，tan(2kπ+α)＝____，
（2）sin(－α)＝_______， cos(－α)＝_______， tan(－α)＝_______，
（3）sin(π－α)＝_______， cos(π－α)＝_______， tan(π－α)＝_______，
（4）sin(π+α)＝_______， cos(π+α)＝_______， tan(π+α)＝_______，
（5）sin(2π－α)＝_______， cos(2π－α)＝_______， tan(2π－α)＝_______，
第二套诱导公式（函数名改变，符号看象限）
（1）sin(900－α)＝_______， cos(900－α)＝_______， tan(900－α)＝_______，
（2）sin(900＋α)＝_______， cos(900＋α)＝_______， tan(900＋α)＝_______，
（3）sin(2700－α)＝_______， cos(2700－α)＝_______， tan(2700－α)＝_______，
（4）sin(2700＋α)＝_______， cos(2700＋α)＝_______， tan(2700＋α)＝_______，
5、三角函数的和、差、倍、半公式
（1）和、差角公式：sin(α±β)＝___________，cos(α±β)＝ ， tan(α±β)＝___________
▲变形公式： tanα±tanβ＝tan(α±β)（1 tanα·tanβ）
▲ sinx+ cosx＝ （ sinx+ cosx）＝ sin(x+φ),
(其中cosφ= ，sinφ= ，tanφ= )
（2）二倍角公式：sin2α＝2sinα·cosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1=1－2sin2α
▲万能公式：sin2α= ； cos2α= ； tan2α=
▲降次公式：sin2α＝ ， cos2α＝
▲变形公式：1+sinα =（sin2 + cos2 ）2；1－sinα =（sin2 －cos2 ）2
1+cosα=2cos2 ； 1－cosα=2 sin2
（3）半角公式：sin ＝________， cos ＝_________，▲tan ＝________＝ ＝ .
6、▲（1）三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ），振幅为 ，周期为
若函数f（x）是偶函数，则φ= ；若函数f（x）是偶函数，则φ= 。
（3）函数f（x）=Acos（ωx+φ），振幅为 ，周期为
若函数f（x）是偶函数，则φ= ；若函数f（x）是偶函数，则φ= 。
7、函数 ，振幅为A，周期为 。，（1） （2）
（3） ＝相邻的两个最高点（或最底点）之间的距离， ＝相邻两个最高点与最底点的距离，或相邻两个拐点的距离， ＝相邻的最值点与拐点的距离。
第五章平面向量
1、若 （ , ），P ( , )， （ , ），P分 所成的比λ
则定比分点坐标公式是 中点坐标公式是
2、若△ABC三顶点的坐标为A（ , ）、B（ , ）、C（ , ）,则△ABC的重心坐标为 .
3、已知 ＝（ , ）， ＝（ , ），设它们间的夹角是θ，填下表：
定义形式 坐标形式
两向量的数量积 · ＝ · ＝
向量的长度 │ │＝ │ │＝
两向量间的角度 ＝ ＝
在 上的投影
两向量垂直 ⊥ ⊥
两向量平行 ‖ ‖
4、（a+b）（a-b）= ；（a+b）2= ；（a-b）2=
第六章不等式
1、不等式的性质（作用：解决与不等式有关的问题）
（1）不等式的基本性质：a＞b a-b＞0； ； .
（2）对称性：a＞b b＜a ；b＜a .
（3）传递性：a＞b且b＞c ；c＜b 且b＜a .
（4）加法单调性：a＞b ；同向不等式相加：a＞b且c＞d .
（5）不等式变向原则：a＞b且c 0 ac＞bc；a＞b且c 0 ac＜bc .
同向不等式相乘： ac＞bd ； an＞bn （n N，且n＞1）.
（6） ＞ （n N，且n＞1）.
（7）a＞b且ab＞0 ；a＞b且ab＜0
2、几个重要的不等式（作用：（1）证明不等式；（2）解不等式；（3）求最大（小）值）
1．如果a，b ，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 时取“=”号）
2．如果a，b ，那么 ≥ （当且仅当 时取“=”号）
3．如果a，b，c ，那么 ≥ （当且仅当 时取“=”号）
5．若a，b都是正数，则 ≤ ≤ ≤ （ 时取等号即称不等式链）
6．若a，b，m都是正数，并且a＜b，比较 ≤ ≤ ≤ .
7．三角形不等式： - ≤ ≤ ＋ ，其中不等式 ≤ ＋ 取“=”号时的充要条件是 ，取“＜”号时的充要条件是 ;
第七章直线和圆
1、若直线的斜率是k，则此直线的一个方向向量是_________；
2、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线斜率公式k =_________；
3、直线方程：⑴点斜式：若直线经过点P1（x1，y1），且斜率为k，则直线的方程设为_____________，
若直线经过点P1（x1，y1），且斜率为0，则直线的方程为 ，
若直线经过点P1（x1，y1），且斜率不存在，则直线的方程为 .
⑵斜截式：若直线斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线的方程设为 .
⑶若直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）.则方程设为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）
当x1≠x2，y1≠y2时，这条直线的方程是 ；
当x1=x2，y1≠y2时，这条直线的方程是 ；
当x1≠x2，y1=y2时，这条直线的方程是 .
⑷若截距式：直线在x轴上的截距为a（a≠0），在y轴上的截距为b b≠0 ，则直线的方程是 .
⑸直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 （A、B不同时为0），当B≠0时，方程变为 ，斜率为 ，在y轴上的截距为 ；当B=0时，方程变为 .
4、在两坐标轴上截距相等的直线方程可设为 或 .
5、两直线的位置关系
斜截式 一般式
直线方程
k1与k2、b1与b2的关系 比例式 乘积式
与 平行
与 重合
与 相交
与 垂直
7、已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则 ＝__________________＝_______________；
8、已知直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1到l2的角为 ,l2到l1的角为 ,l1与l2的夹角为 ,
若1+k1k2=0,则 = = = ;
若1+k1k2≠0, 则tan = ,tan = , tan = .
9、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= .
10、 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d= .
11、曲线C：f x，y =0.关于x轴的对称曲线C1的方程为 ，关于y轴的对称曲线C2的方程为 ，
关于原点的对称曲线C3的方程为 ，关于直线x-y=0的对称曲线C4的方程为 ，关于直线 x+y=0的对称曲线C5的方程为 ，关于直线x-y+C=0的对称曲线C6的方程为 ，关于直线x+y+C=0的对称曲线C7的方程为 。
12、关于点对称的两条直线的位置关系是 .
13、与两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离相等的直线方程是 .
14、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为__________；与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为__________.
15、二元一次不等式表示的平面区域的判断方法
特殊点代入法：当直线f（x,y）=Ax+By+C=0不过原点时，常用点（0，0）代入
若f(0,0)＞0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＞0所表示的平面区域
若f(0,0)＜0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＜0所表示的平面区域
公式法：
若A＞0，B＞0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＞0，B＜0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＞0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＜0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
不等式Ax+By+C＜0所表示的平面区域与Ax+By+C＞0相反
15、圆的方程
⑴圆的标准方程是__________________，其中圆心是__________，半径是__________。
⑵二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
①当____________时，方程表示以_____________为圆心，以__________为半径的圆；
②当____________时，方程表示一个点，此点的坐标是当________________ ；
③当____________时，方程不表示任何图形。
⑶圆的参数方程是__________________，其中圆心是__________，半径是__________。
16、过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程是x0x+ y0y=r2
过圆(x－a)2+(y－b)2=r2上一点（x0，y0）的切线方程是(x0－a) (x－a)+ (y0－b)(y－b)=r2
17、直线和圆的几种位置关系
记圆心到直线的距离为d，圆的半径是r, 则
（1）相离 __________；（2）相切 __________；（3）相交 __________；
18、圆与圆的几种位置关系
记两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r（R≥r），则
（1）相离 __________；（2）相外切 __________；（3）相交 __________；
（4）相内切 __________；（5）内含 __________。
19、.两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
第八章圆锥曲线
一、椭圆
1、椭圆定义：一个动点P，两定点F1，F2，且 =2 （ 为常数）
⑴若2 ＞ ，则动点P的轨迹是椭圆
⑵若2 = ，则动点P的轨迹是线段F1F2
⑶若2 ＜ ，则动点P无轨迹。
2、 椭圆的方程：
⑴椭圆的标准方程：焦点在x轴上时，方程为 （a＞b＞0）
焦点在y轴上时，方程为 （a＞b＞0）
⑵椭圆的参数方程：焦点在x轴上时，参数方程为 为参数
焦点在y轴上时，参数方程为 为参数
3、 掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、长轴长2 、短轴长2 、焦距2c、长半轴 、短半轴 、半焦距 、通经 、相应焦准距 、准线方程、离心率 、焦半径（第二定义）、 2= 2+ 2）
二、双曲线
1、双曲线定义：一个动点P，两定点F1，F2，且 =2 （ 为常数）
⑴若2 ＞ ，则动点P无轨迹
⑵若2 = ，则动点P的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（在直线F1F2上）
⑶若2 ＜ ，则动点P的轨迹是双曲线。
2、双曲线的标准方程：焦点在x轴上时，方程为 （a＞0，b＞0）
焦点在y轴上时，方程为 （a＞0，b＞0）
3、 掌握双曲线的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、实轴长2 、虚轴长2 、焦距2c、
实半轴 、虚半轴 、半焦距 、通经 、相应焦准距 、准线方程、渐近线方程、离心率 、焦半径（第二定义）、 2+ 2= 2）
4、①双曲线方程 - =1(a＞0,b＞0)即 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)就是其渐近线方程;
②渐近线是 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)的双曲线设为 - =λ(λ≠0),k是待定系数.
5、等轴双曲线表示为 ,离心率为 ,渐近线为 .
三、抛物线
1、 抛物线定义：一个动点P到定点F的距离与P到定直线 的距离的比为 .
若0＜ ＜1,则动点P的轨迹是椭圆; 若 =1, ,则动点P的轨迹是抛物线;
若 ＞1, ,则动点P的轨迹是双曲线
2、 抛物线的标准方程：焦点在x轴上时，方程可设为y=2px2,焦点为( ，0),准线方程是x=
焦点在y轴上时，方程可设为x=2py2,焦点为(0， ),准线方程是y=
3、抛物线的性质（范围、对称性、顶点坐标、通经为2p、焦准距p、离心率1）
3、 关于抛物线y2=2px（p＞0）焦点F弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），性质:⑴ = x1+ x2+ p，
x 1x2= ，⑶y1y2= ，⑷ ，⑸若AB与对称轴的夹角为 ，则 = 。
四、圆锥曲线的性质：
1、P是椭圆 （ ＞ b＞0）上的一点,F1、F2是两焦点，若∠F1PF2= （0＜ ＜ ），
求证△F1PF2的面积为 tan .
2、P是双曲线 （a＞0,b＞0）上的一点,F1、F2是两焦点，若∠F1PF2= （0＜ ＜ ），
求证△F1PF2的面积为 cot .
3、弦长公式(直线和曲线相交时,其被曲线所截的线段叫做弦) 设M(x,y),N(x,y),则弦长
= = = (k为已知直线斜率)

第九章 立体几何
一、证明（线线、线面、面面）平行和垂直
1、平行的证明：
(1)线线平行的证明
①若 ‖ ， ‖ .则 ‖ ; ②若 ‖ , , = .则 ‖
③若 ‖ , , .则 ‖ ; ④ ‖

(2)线面平行的证明
① ‖ ② ‖ ; ③ ‖

(3)面面平行的证明
① ‖ ② ‖
2、垂直的证明
(1)线线垂直的证明
①若 ‖ ， 则 ； ②
③三垂线定理或三垂线定理的逆定理
；
④向量证明：
(2)线面垂直的证明
① ； ② ；
③ ； ④ .
(3)面面垂直的证明
①二面角 是直二面角 ； ② ；

③
二、所成的角
1、 直线与直线所成的角的范围是
⑴若直线与直线平行，则所成角为00；⑵若直线与直线相交，则所成角为 ；
⑶两条异面直线所成角θ的范围是 (0°，90°].两条异面直线所成的角是本单元的重点．求两条异面直线所成的角的基本方法是通过平移将其转化为两条相交直线(即作出平面角)．主要有四种方法：
① 直接平移法(利用图中已有的平行线)；
② 中位线平移法；
③ 补形平移法(延长某线段、延展某个面或补一个与已知几何体相同的几何体，以便找出平行线)．
④ 向量法：设 , 分别是异面直线a、b上的两个非零向量，则cosq=|cos< , >|= ．
2、直线和平面所成的角的范围是〔00，900〕
⑴若直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0°；
⑵若直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是900；
⑶斜线 和平面 所成的角是平面 的斜线 和它在这个平面内的射影的夹角.范围是（00，900）
方法：①关键是作垂线，找射影.构造一个直角三角形
②向量求法:求 的法向量 和 , |cos< , >|= =k(0则 和 所成的角是 (或 - )
3、二面角大小范围是〔0°，180°〕
方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法；④射影面积公式S′=Scosθ；
⑤向量求法：求 、 的法向量分别为 和 ，coc＜ ， ＞=k，若二面角 - - 是锐二面角时，则大小为 ；若二面角 - - 是钝二面角时，则大小为 -
三、距离：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面
直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.在七种距离中，求点到
平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
▲求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法；⑷向量法：如点P到面 的距离d= （其中 是面 的法向量，A ）
四、三个唯一
1、 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；
2、 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；3、过一点有且只有一个平面垂直于已知直线.
五、重要性质
1、O是P点在△ABC所在的平面上的射影，即PO⊥面ABC.
⑴若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心;
⑵若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分别为D、E、F且PD=PE=PF.
则点O是△ABC的内心;
⑶若PA⊥BC,PB⊥AC. 则点O是△ABC的垂心
3、 ⑴若∠POA=∠POB，则PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分线；
⑵若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别E、F且PE=PF.
则点P在面AOB上的射影在∠AOB平分线.
4、 如图，已知OB^平面a于B，OA是平面a的斜线，A为斜足，
直线ACÌ平面a，设ÐOAB=q1，又ÐCAB=q2，ÐOAC=q．
那么cosq=cosq1×cosq2．
5、 在Rt△ABC中，∠C=900.对应边分别为 、 、
⑴Rt△ABC的外心（外接圆的圆心）在斜边的中点且半径R=
⑵Rt△ABC的内心（内切圆的圆心）且半径r=
⑶ ⑷

六、简单几何体
1棱柱:
(1) {正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {直四棱柱} {四棱柱} {棱柱}
{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {平行六面体} {四棱柱} {棱柱}
(2)棱柱的侧面积 其中 为直截面的周长, 为棱长 ; 棱柱的体积 =
(3)直棱柱的侧面积 ; 直棱柱的体积 =
(4)特殊棱柱长方体A1B1C1D1-ABCD的长、宽、高分别为 、 、
① 对角线长 =
② 长方体外接球的直径2R等于对角线长 ；
③ 若对角线与一个顶点引的三条棱所成角分别为 、 、 .则 =1;
④ 若对角线与一个顶点引的三个面所成角分别为 、 、 .则 =2;
⑤ 长方体的表面积S=2 ;长方体的体积V= ;
⑥ 正方体的内切球的直径等于棱长
2、 棱锥:
(1) 棱锥的性质：若棱锥P-ABC…被平行于底面ABC的截面A1B1C1所截，则
① 多边形ABC…∽多边形A1B1C1…，设相似比为 ；
② ； ； 。
③ V=
⑵正棱锥（①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是正多边形的中心）
① ； ②V=
3、多面体
⑴正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形，正六面体的面是正方形，
正二十面体是五边形。
⑵简单多面体的顶点数 、面数 、棱数E之间的关系：
简单多面体各个面的内角和等于
若各面多边形的边数 ，则 ； 若各个顶点引出的棱数 ，则
3、 球
⑴球的截面有以下性质：
① 球心和截面圆心的连线垂直于截面
② 球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有以下的关系：
⑵球的表面积： ；
⑶球的体积：
第十章 排列组合与二项式定理
1． 计数原理
①加法原理： (分类) ②乘法原理： (分步)
2． 排列（有序）与组合（无序）
① = ②
③
④组合的两个性质： ；
3． 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）
插空法（解决相间问题） 间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：①分类讨论思想 ②转化思想； ③对称思想.
4． 二项式定理：
①
特别地：
②通项为第 项： 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
③主要性质和主要结论：对称性
最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）
所有二项式系数的和：
奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和：
5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
6．二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
第十一章概率统计
1．必然事件 ，不可能事件 ，随机事件的定义 。
2.⑴等可能事件的概率：（古典概率） = 理解这里 、 的意义。
⑵事件 、 互斥，即事件 、 不可能同时发生，这时 ， 事件 、 对立，即事件 、 不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时 ，

⑶独立事件：（事件 、 的发生相互独立，互不影响）
独立重复事件（贝努里概型） 表示事件 在 次独立重复试验中恰好发生了 次的概率。
为在一次独立重复试验中事件 发生的概率。
特殊：令 得：在 次独立重复试验中，事件 没有发生的概率为
令 得：在 次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
3.统计、总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，抽签法；2系统抽样 3分层抽样。
样本平均数：
样本方差： S2 = [(x1－ )2+(x2－ )2+ (x3－ )2+…+(xn－ )2]
样本标准差： = 作用：估计总体的稳定程度