反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型

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反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点整理是什么？

反比例函数中k的几何意义？

一、反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型

一.反比例函数的概念

概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;

(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;

(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,

反之,则不一定成立

例1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²; ④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 (　　)

A.①②③④⑥　 B.③⑤⑥　 C.①②④　 D.④⑥

例2 若函数

是y关于x的反比例函数,则m=　　　 .

例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 (　　)

A.自变量x的指数相同　　 B.比例系数相同

C.自变量x的取值范围相同　 D.函数y的取值范围相同

2.易错点解析 漏掉k≠0这一条件

解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.

例4已知函数

为反比例函数,则k=　　 .

二.反比例函数的图像和性质

1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的性质

注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。

例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 (　　)

A.图象经过点(1,1)

B.两个分支分布在第二、四象限

C.两个分支关于x轴成轴对称

D.当x<0时,y随x的增大而减小

例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 (　　)

 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是(　　)

A.y=2/x 　 B.y=0.2/x 　 C.y=√2/x 　 D.y=-2/5x 

例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 (　　)

A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个

三.反比例函数解析式的确定

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

例9.　已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=8.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)当x=6时,求y的值;

(3)当y=-10时,求x的值.

例10.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x=-1时,y=-1,当x=2

时,y=5.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)当y=-5时,求x的值.

四.反比例函数中反比例系数k的几何意义及其常见模型

1.（常见模型结论及证明过程如图片）如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形BEOF的面积S=BEBF=。

注意：（1）利用k的几何意义求k的题，一定要注意算出来的是k的绝对值；

（2）反比例函数图象在第三象限时，k为正。

2.“三角形”化“梯形”模型

3.比例线段模型

4.等线段模型

5.中点模型

6.三垂直模型

7.山尖模型

例11.平行于x轴的直线与函数y1=a/x(a>0,x>0),y2=b/x(b>0,x>0)的图象分别交于A、B两点,且点A在点B的右侧,在x轴上取一点C,使△ABC的面积为3,则a-b的值为 (　　)

 A.6　 B.-6　 C.3　 D.-3

例12.点A是反比例函数y=k/x的图象上一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则k的值是　　　　 .

例13.如图,点A,B是反比例函数y=k/x(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA、BC,已知点C(2,0),BD=3,S△BCD=3,则S△AOC等于 (　　)

 A.2　 B.3　 C.4　 D.6

一、反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结
在学习中,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识,也就是大纲的分支。哪些知识点能够真正帮助到我们呢?下面是小编为大家收集的反比例函数知识点总结,希望能够帮助到大家。
若k为常数,则函数y=k/x就是反比例函数,自变量和自变量的函数分别是x和y,又因为反比例函数式本身是一个分数,所以x可以是任意不等于0的实数。同时,函数式有时候也写成y=k?x^(-1)或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础,它们的应用一样广泛,所以不要轻视反比例函数。
那么,怎样学好反比例函数?其实反比例函数不难,只要能理清思路,把反比例函数知识点理清,把反比例函数图像理解透彻,一切是那么容易,总之,只要你能熟练数形结合,任何函数学习都会轻松很多。
步骤/方法以下是反比例函数知识点总结
1、反比例函数的表达式
X是自变量,Y是X的函数
y=k/x=k?1/x
xy=k
y=k?x^(-1)(即:y等于x的`负一次方,此处X必须为一次方)
y=kx(k为常数且k≠0,x≠0)若y=k/nx此时比例系数为:k/n
2、函数式中自变量取值的范围
1k≠0;2在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
3函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一切实数
y=k/x=k?1/x
xy=k
y=k?x^(-1)
y=kx(k为常数(k≠0),x不等于0)
3、反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?
过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会给解题带来很多方便。
5、反比例函数性质有哪些?
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k
时,函数在x
0上同为减函数;k
0上同为增函数。定义域为x≠0;值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么AB两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n^2+4k?m≥(不小于)0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点

二、反比例函数知识点整理是什么？

反比例函数知识点整理：

反比例函数的定义。

定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质。

函数y=k/x称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量。

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的取值范围是：x≠0。y的取值范围是：y≠0。

4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴。

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式。

(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

补充说明：

1.反比例函数的解析式又可以写成：（k是常数，k≠0)。

2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可。

反比例函数解析式的特征。

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数。

⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

三、反比例函数中k的几何意义？

反比例函数是中考重点之一，在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很大的方便.下面我就反比例函数k的几何意义在教学中的体会谈谈看法.
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一、了解认识反比例函数K的几何意义
在反比例函数y=■（k≠0）中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像y=■上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图所示），则矩形PMON的面积S=PM・PN=|y|・|x|=|xy|=|k|.连接OP，则S■=S■=■.
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很多方便.下面我举例说明.
例1：如图，在函数y=■（x>0）的图像上有三点A、B、C.过这三点分别向x轴、y轴作垂线.过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S■，S■，S■，则（ ）
A.S■>S■>S■ B.S■　　C.S■　　分析：根据K的几何意义，S■=S■=S■=1，故选D.
变式1：如图反比例函数y=■（x>0）的图像上，有点P，Q，R，S，它们的横坐标依次是1、2、3、4.分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S■，S■，S■，则S■+S■+S■=？摇？摇？摇 ？摇.
分析：通过平移可知，阴影部分面积和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.
变式2：如图，反比例函数y=-■的图像与直线y=-■x的交点为A、B.过A作y轴的垂线，过B作x轴的平行线相交与点C，则△ABC的面积为多少？
分析：如图，若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若利用反比例函数中k的几何意义来解，则能快刀斩乱麻.
解：由反比例函数图像关于原点成中心对称知O为AB中点.根据反比例函数中k的几何意义，有S■=S■=■，所以△ABC的面积即为矩形BCDE的面积为8.
变式3：如图，反比例函数y=■与一次函数y=2x的交点为A、B.过B作y轴的垂线与y轴交于点C，求△ABC的面积.
分析：若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若用反比例函数k的几何意义解决问题，就会节省很多时间.
解：由反比例函数图像关于原点成中心对称可知：O为AB中点.S■=2S■=|k|=4.
变式4：若在此题上添加过A作y轴的垂线与y轴交于点D连接AD，BD，则四边形ADBC的面积为多少？
分析：易证四边形ADBC是平行四边形，所以四边形ADBC的面积=2.S■=8.
由已知反比例函数求几何图形面积，用k的几何意义可以简化过程，通过数形结合使几何问题代数化，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.
二、根据反比例函数图像中的几何图形的面积求反比例函数解析式
例1：如图所示，点P是反比例函数y=■图像上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形的面积为4，求反比例函数的解析式.
分析：矩形AOCP的面积=|k|，所以|k|=4.学生往往认为很简单而漏考虑图像在二、四象限，所以k=-4.
例2：如图，已知双曲线y=■（k>0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求反比例函数解析式.
分析：设点D（x，y），则xy=k.
由点D为OB中点可知点B（2x，2y）.
S■=■・OA・OB=■×2k×2k=2k
S■=S■-S■=2k-■=3
可得k=2.
所以y=■.
变式：如图，反比例函数y=■（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.
分析：本题类似上题，由M为矩形ODBE交点可知，M为OB中点，同样设M（x，y），得B（2x，2y）.
矩形OABC面积=2x・2y=4k
由四边形ODBE的面积为6可得：
4k-■k-■k=6，得k=2.
通过几何图形的变化，结合图形用方程思想解决几何问题，可以看出k的几何意义应用，利用数形结合思想往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了.从而在学习过程中激发学生学习数学的兴趣.

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