精彩备课：六年级下册数学正比例的意义

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精彩备课：六年级下册数学正比例的意义

正反比例的意义～六年级下册数学

数学六年级正比例和反比例的意义

正比例的比值的意义

一、精彩备课：六年级下册数学正比例的意义

《正比例的意义》教学设计

【教学内容】《义务教育教科书·数学》（青岛版）六年制六年级下册第三单元信息窗2。

【教材分析】这部分内容是在教学过比和比例知识的基础上进行教学的。正、反比例关系是比较重要的一种数量关系，学好正、反比例关系，不仅可以加深对比例知识的理解，解决一些实际问题，同时渗透函数思想，为学生今后的学习打好基础。为了让学生准确理解正比例的意义，教师可结合教材创设的情境，联系学生生活实际，组织丰富有效的教学活动，使学生在主动探究、合作交流的过程中掌握知识，提高能力。

【教学目标】

1．经历正比例意义的建构过程，通过具体问题认识成正比例的量，能找出生活中成正比例量的实例，能正确判断成正比例的量。

2．通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，发现正比例量的特征，并尝试抽象概括正比例的意义。

3．提高分析比较、归纳概括、判断推理能力，同时渗透初步的函数思想。

4．在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。

【教学重点】理解正比例的意义，并能判断两种相关联的量是否成正比例。

【教学难点】通过观察思考发现两种相关联的量的变化规律从而概括出正比例的意义。

【教具学具准备】多媒体课件、师生平板

【教学过程】

一、创设情境，提供素材谈话：同学们，上节课我们在啤酒厂结合着运输大麦芽的过程认识了比例，今天让我们一起到啤酒的生产车间去参观一下吧。（课件出示情境图）

谈话：从表中你知道了哪些数学信息？

预设：

1．表中有工作时间和工作总量两种量。

2．工作时间

1小时，工作总量

15吨；工作时间

2小时，工作总量

30吨；工作时间

3小时，工作总量

45吨......

提问：根据这些信息，你能提出什么数学问题？预设：工作总量和工作时间有什么关系？谈话：首先，老师想问问大家，工作总量和工作时间是变化的量还是不变的量？它们是怎样变化的？

预设：1．工作时间扩大，工作总量也在扩大。

2．工作时间越长，工作总量就越多。谈话：谁能用一句话来概括概括大家刚才的发现？预设：1．工作时间越长，工作总量就越多。

2．工作时间越短，工作总量就越少。

谈话引入：看来，工作时间变化了，工作总量也随着变化了，就是说工作总量和工作时间是“两种相关联的量”。

二、分析素材，理解概念

（一）借助教材，自主探究。

谈话：数形结合是数学中非常重要的方法。工作总量和工作时间的变化情况还可以用这样一幅图来表示。用横轴表示工作时间，纵轴表示工作总量。在这幅图中哪个点表示 1小时生产 15吨啤酒？学生到前面指图。（指 3小时生产 45吨的点）这个点表示什么呢？谈话：如果将这些点依次连接，想象一下会是什么样的？能不能用手势来比划一下？学生手势比划。谈话：对，是一条直线，下面请同学们结合记录表和变化图研究一下，看看工作总量和工作时间这两种相关联的量的变化到底有什么规律？先独立思考，然后在小组里交流并把你们的发现记录下来。（

二）组内交流，感悟规律。学生讨论交流，教师巡视，了解孩子们的发现，搜集有代表

性的发现。

（三）组间交流，理解规律。谈话：哪个小组想和大家来交流交流你们的发现？预设：学生可能出现的回答1．工作时间扩大几倍，工作总量也扩大几倍。2．工作总量和工作时间的比值都是 15。谈话：看来工作总量随着工作时间变化的过程中也有一个不变的量，什么不变？（生答：比值不变，教师板书“比值”）谈话：那工作总量和工作时间的比值 15表示什么？（工作效率）如果用一个式子来表示它们三者的关系，可以怎样写？

板书：

（ 四）借助素材，总结概念。谈话：回顾一下刚才我们研究的过程，现在，谁能完整地来说说工作总量和工作时间有什么关系？

预设：学生可能出现的回答1．工作总量和工作时间的比值一定2．工作时间变化，工作总量也随着变化。

3．它们是相关联的量；工作总量和工作时间的比值一定。

谈话：工作时间和工作总量是相关联的量；它们对应数的比值一定。我们就说工作总量和工作时间是成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。这就是我们今天要学习的新知识，正比例的意义。（板书课题）【设计意图】采用“引”、“扶”的方法让学生体会正比例意义的特征，通过观察、比较、讨论，水到渠成引出正比例的意义，使抽象的数学概念，变得让学生看得见，摸得着。

三、借助素材，深化概念

（一）路程和时间的关系：谈话：工作时间和工作总量之间有这样的关系，生活中其他量之间有没有这种关系呢？让我们再来看几个例子。（课件出示：神舟九号飞船太空飞行情况记录）时间（秒）1234...10路程（千米）7.915.823.731.6...79谈话：这是“神舟”九号飞船太空飞行情况的记录。从表中你了解到了什么信息？考虑一下：表中的路程和时间成正比例吗？为什么？先和同桌说说吧，必要时可以动笔算一算。学生同桌交流。

全班交流：预设：1．表中的路程和时间成正比例，因为路程和时间的

比值一定，我们就说路程和时间是成正比例的量。

2．因为时间变化，路程也随着变化。教师谈话引导：谁能完整地说说路程和时间为什么成正比例的量？引导学生说出：路程和时间是相关联的量；路程和时间的比值一定，所以他们成正比例关系。

（二）总价和数量的关系：谈话：同学们想一想，还有哪两种常见的量成正比例关系呢？预设：总价和数量学生独立借助表格分析总价和数量的变化规律，进一步明确：数量变化，总价也随着变化；总价与数量的比值一定。

（三）抽象概括正比例字母关系式谈话：同学们，这节课我们认识了三组正比例关系的量，请同学来说一说。预设：总价比

数量等于单价一定，总价与数量成正比例关系；路程比时间等于速度一定，路

程与时间成正比例关系；工作总量比工作时间等于工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系。谈话：在今后的学习中，我们还会发现很多成正比例关系的量，你能用一个字母关系式来表示正比例关系吗？试着写一写吧。预设：师：也许你用的字母跟老师不一样，只要意思表达正确就可以了。请你分别指出这个式子中变化的量和一定的量吧。预设：x和

y是变化的量，k是一定的量。

（四）进一步探究正比例图像谈话：接下来，我们看一下正比例图像中还有哪些数学知识呢？独立完成探究单，然后小组交流

【设计意图】联系对比寻找三组数量关系的相同点，使成正比例的两个量的变化规律进一步凸显，正比例的概念水到渠成。寻找生活中成正比例的量，将数学与生活紧密相连，感受数学的价值。引导学生用字母关系式表示正比例关系让学生进一步体会到字母表达数量关系的简约性和优越性。四、巩固拓展，应用概念

1、哪个表中的两种量成正比例？为什么？（课件出示练习题内容）

（1）播音员播音的时间和字数如下表：时间（分）58101220字数12502000250030005000播音时间与播音字数成正比例吗？为什么？

（2）播音员播音的时间和字数如下表：时刻8:028:038:048:05已播字数2505007501000未播字数12501000750500已播字数与未播字数成正比例吗？为什么？谈话：判断哪个表中的两种量成正比例？先思考，一会儿咱们用手势判断。播音字数与播音时间成正比例吗？学生平板课堂互动判断。谈话：大家都认为成正比例关系，你来说说为什么吧？预设：播音时间变化，播音字数也随着变化。他们的比值一定。谈话：再来看看第

2题已播字数和未播字数成正比例吗？（不成正比例）谈话：为什么不成正比例？

学生说出理由：因为两种量的比值不一定。

2、观察图像学生独立以小组为单位独立完成。

【设计意图】通过有梯度、针对性的对比练习，

一是想激发学生的练习的兴趣，通过辨别，克服学生的思维定势：认为只要一个量随着另一个量的增加而增加，减少而减少，两个量就成正比例；

二是形成“正比例意义”的正确表象；

三是感受正比例在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系。最后设计的第2题，重在沟通知识间的内在联系，培养学生的归纳概括能力，提升数学素养。四、回顾整理、反思。谈话：同学们，今天我们主要研究了什么问题？学生回答：认识了正比例。

谈话：你感觉自己有成获吗？你能谈谈你的收获吗？预设：1．我认识了什么是正比例。

2．我懂得了如何使用正比例。

3．我学会了用正比例知识判断两种量是否成正比例。教师小结并引导、启发学生将今天学到的知识应用到生活实践中，用学到的知识来解决生活中的实际问题。

【设计意图】通过回顾反思，引导学生对本节课从知识、方法、情感态度等方面进行梳理，帮助学生养成回顾梳理的习惯，培养学生初步的梳理、概括能力。

五、板书设计

六、作业设计

1、知识巩固作业：自主练习第4题

2、能力提升作业：自主练习第9题

3、实践作业：自主练习第7题预计完成时间：25分钟。

【设计意图】1、运用正比例的意义进行判断，加深对正比例意义的理解；

2、巩固和运用正比例图像解决实际问题；

3、联系生活来理解正比例的意义和图像，感受数学与生活的密切联系。

一、正反比例的意义～六年级下册数学

正比例：满足关系式y/x=k(k为常量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成正比例。
显然，若y与x成正比例，则y/x=k(k为常量)；反之亦然。
例如：在行程问题中，若速度一定时，则路程与时间成正比例；在工程问题中，若工作效率一定时，则工作总量与工作时间成正比例。
注意:k不能等于0
反比例：
满足关系式xy=k或y=k/x(k为常量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成反比例；
显然，若y与x成反比例，则xy=k(k为常量)；反之亦然。
例如：在行程问题中，若路程一定，则速度与时间成反比例；在做工问题中，若工作总量一定，则工作效率与工作时间成反比例。
也就是说，总量不变，其他量变，其它量就成反比例。

二、数学六年级正比例和反比例的意义

正比例就是一个增另一个也增，两者得商为定值，反比例就是一个增一个减，两者之积为定值

三、正比例的比值的意义

《正比例的意义》教学设计
【课 题】：
人教课标版小学数学六年级(下)《正比例的意义》
【目标预设】：
1、知识能力：使学生认识正比例的意义,理解、掌握成正比例量的变化规律及其特征.
2、过程与方法：能根据正比例的意义判断两种相关联的量成不成正比例关系.
3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、分析、综合等能力；培养学生的抽象概括能力和分析判断能力.
【重点、难点】：
重点：使学生理解正比例的意义.
难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律(即它们相对应的数的比值一定),从而概括出正比例关系的概念.
【教学过程】：
一、复习准备：
口答(课件演示)
1、已知路程和时间,怎样求速度?
2、已知总价和数量,怎样求单价?
3、已知工作总量和工作时间,怎样求工作效率?
二、新授教学：
(一)交流探讨
课件出示以下两组材料：
1、一辆汽车行驶的时间和路程如下
时间(时) 1 2 3 4 5 6 ……
路程(千米) 90 180 270 360 450 540 ……
观察上表,填写表格并思考下列问题：
(1)表中有哪两种相关联的量?
(2)路程是怎样随着时间变化而变化的?
(3)相对应的路程和时间的比分别是什么?比值是多少?
2、一间布店的柜台上,某种花布的米数和总价如下表
数量(米) 1 2 3 4 5 6 ……
总价(元) 8.2 16.4 24.6 32.8 41.0 49.2 ……
观察上表,填写表格并思考下列问题：
(1)表中有哪两种相关联的量?
(2)总价是怎样随着数量变化而变化的?
(3)相对应的总价和数量的比分别是什么?比值是多少?
(二)反馈：
师：在看表的过程中,你发现了什么?每一组材料中的两种量有什么关系?它们的变化有规律吗?
1、学生自由说,小组内总结.(小组汇报,教师小结.)
小结：像这样表里的两种量,一个量变化,另一个量也随着它的变化而变化的,这两种量就是相关联的量.
【根据学生反馈板书】：
①两种相关联的量
②一种量扩大(或缩小)另一种量也扩大(或缩小)
③两种量中相对应的两个数的比值是一定的
(说明：相对应的两个数的比的比值都一样或固定不变,在数学上叫做“一定”)
2、概括正比例的意义.
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系.
【板书课题】：成正比例的量
追问：判断两种相关联的量成不成正比例的关键是什么?(比值是不是一定)
3、字母表达关系式.
问：如果字母y和 x分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系怎样用字母表示出来?
【板书】：=k(一定)
(三)探究：
1、课件出示表格
时间（时） 1 2 3 4 5 6 ……
路程（千米） 90 180 270 360 450 540 ……
根据表中列出的两种量,完成例1所示的图像.
问：你能根据表中的每组数据,在方格图中找一找相应的点,并依次描出这些点吗?
2、学生尝试画出正比例的图像.
3、展示、纠错.
提问：不计算,根据图像判断,若行驶2.5小时,那么所行路程是多少?
(四)应用：
1、判断下面每题中两种量是不是成正比例,并说明理由.
(1)苹果的单价一定,购买苹果的数量和总价.
(2)轮船行驶的速度一定,行驶的路程和时间.
(3)每小时织布米数一定,织布总米数和时间.
(4)小新跳高的高度和他的身高.
学生独立思考,指名回答,课件演示核对.
三、课堂小结：
师：通过这节课的学习,你们都知道了什么?怎样判断两种量是否成正比例?
四、课堂延伸：
思考：正方形的边长和面积成正比例吗?
五、课外作业：
完成练习七第1、4题.
六、板书设计：
正比例的意义
①两种相关联的量
②一种量扩大(或缩小)另一种量也扩大(或缩小)
③两种量中相对应的两个量的比的比值（商）是一定的
路程/时间=速度(一定) 总价/数量=单价(一定)
=k(一定)