2023中考数学必收藏的热门考题 - 2.有理数的运算（2）

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2023中考数学必收藏的热门考题 - 2.有理数的运算（2）

中考数学有理数相关知识点

有理数及其运算

有理数运算2

一、2023中考数学必收藏的热门考题 - 2.有理数的运算（2）

相信很多同学把数学视为自己的学习痛点，面对绕口的公式、复杂的解题过程、日复一日的做题日常，直呼头痛！小淘君总结了2023年中考的28个常考考点、17种常用解题方法以及10个热门专题，关注“小淘爱学习”，收藏、点赞并分享本文，你一定用得到，家长记得为自己的孩子收藏哦！点击进入“小淘爱学习”首页，查看往期知识分享！

（五）有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.一个数可以看作这个数本身的1次方.

2.乘方的意义

an表示n个a相乘.

3.乘方的法则

（1）正数的任何次幂都是正数.

（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.

（3）0的任何正整数次幂都是0.

提示：(1)一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写.

(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数.

(3) 0的0次幂无意义.

（六）有理数混合运算的顺序

（1）先乘方，再乘除，最后加减.

（2）同级运算，从左到右进行.

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

注意：(1)运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤；另外有些运算同时进行，也可简化解题步骤.

(2)在进行混合运算时，除遵循以上原则外，还需注意灵活运用运算律，使运算准确而快捷.

（七）科学记数法

（1）把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），使用的是科学记数法.

注意：a×10n中a只有一位整数，n等于原数的整数位数减1.

（2）把一个绝对值小于1的非零数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有0的个数（包括小数点左面的那个0）.

（八）近似数

（1）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数，也叫近似值.

（2）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

注意：(1)一个数要精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从末位向前四舍五入.

(2)一个近似数的末尾的0不可省略，省略后原数的精确度会改变.

上期链接：

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一、中考数学有理数相关知识点

2017中考数学有理数相关知识点

　　有理数是中考必考考点，关于有理数知识点同学们掌握得怎么样了?下面我为大家分享有理数相关考点知识，希望对大家备考有参考作用!

　　1.有理数：

　　(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;不是有理数;

　　(2)有理数的分类:①②

　　2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

　　3.相反数：

　　(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;

　　(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

　　4.绝对值：

　　(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

　　(2)绝对值可表示为：或;绝对值的问题经常分类讨论;

　　5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.

　　6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若a≠0，那么的倒数是;若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数.

　　7.有理数加法法则：

　　(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

　　(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的.绝对值;

　　(3)一个数与0相加，仍得这个数.

　　8.有理数加法的运算律：

　　(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).

　　10.有理数乘法法则：

　　(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;

　　(2)任何数同零相乘都得零;

　　(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

　　11.有理数乘法的运算律：

　　(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);

　　(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.

　　12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.

　　13.有理数乘方的法则：

　　(1)正数的任何次幂都是正数;

　　(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

　　14.乘方的定义：

　　(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

　　(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

　　15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

　　16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

　　17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

　　18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

　　本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.

　　体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

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二、有理数及其运算

在这一单元，我们学习了有理数，我们大体可以把它分为三类，第一类是正数，第二类是负数，而最后一类最独特的就是零，它既不属于正数，也不属于负数。那有理数中间有哪些重要的部分呢？有理数可以怎样运算呢？

首先我们要知道有理数为什么要诞生？这还得从很久很久以前说起。在很早的时候，我们的祖先就已经知道用数表示现实生活中的问题。比如打了一只猎物，就放一根小棒，在收获一只，就再放一根。而负数的诞生是因为有收入就会有支出，只用正数是不够的。如果吃掉一只就斜着放一根，从这里我们也可以看出负数和减法的关系，如果被减数为0，那就是负数，如果被减数是正数，那就是减法。而在发明负数之后，我们也发现了很多有意思的量，比如相反数，负负得正这些观念，我们会在文章后面探究。有理数分为正数，负数和0这三类。比如正数中的3，它有确切的数值，比1增加了2比4减少了1。而和他相反的，是无理数。比如π，它无法作比较，我们更不知道它的尽头在哪里。这就被我们称为无理数。

而和有理数有关的还有绝对值和相反数。绝对值就是在数轴中与原点之间的距离，被称为绝对值。而在所有数中，绝对值最小的数就是0，它和原点的距离就是0。比如数轴中的原点为0，而我们现在所在的点是3，那3到0这段距离就被称为3的绝对值，-3的绝对值和3的绝对值是一样的，而我们写做|3|。绝对值一定是非负数，距离不能表现为负数。相反数的定义就更加简单，它的意思就是在数轴上与它相对的数。数轴左侧的3，它的相反数就是数轴右侧的3。而当我们知道了绝对值和相反数，能运用它们干什么呢？

可以用来比大小。分为正数比大小，和负数比大小。正数和负数比大小的时候，正数一定大于负数，因为在数轴上，规定的就是数越往右边越大，而正数就是在右边。负数和负数比大小，绝对值越小的越大，因为绝对值越小也就意味着离右边越近，越往右边数越大。正数和正数比大小，绝对值越大的越大。

也可以用来运算。先说我们最熟悉的加减法，在有理数的运算中，我们可以把加法和减法看成一种运算方法。为什么要这样呢？因为加法有交换律和结合律，会更方便我们运算，如：-5-3-2=5+(-3)+(-2)，而减法并没有这样的运算定律。在原来我们就学过加减互逆，而这个时候，我们就可以把减一个正数变成加上一个负数，那这是怎样的一个原理呢？我们可以在数轴上进行演示，如下图：

在图上，我们可以发现，不管是减37还是加负37，在数轴上跳的位置都是一样的，都是向左跳37，跳到负37的位置。其实这个原理也非常简单，负37其实可以看做0-37，比如3-37，我们就是把3作为原点。而我们对负数的定义就是把0作为原点，然后-37。而我们从这里也可以联想到前面，-37和+（-37），可以看做是0-37，和0+（-37）加减可以互逆，那么计算起来就会更简单，具体的法则如下：

1.正数加负数：如果正数的绝对值更大，那么结果的符号为正。如果负数的绝对值更大，那么结果的符号等于负号。如图：

因为如果正数的绝对值更大，就会往右边跳的更多，绝对值小的跳不回来。而负数的绝对值更大，就会往左边跳的更多，绝对值小的跳不回来，而往哪边跳的更多，自然就是哪个数。（正数负数）。

2.正数加正数：（这个我们在原来已经学习过了，在这里就不讲了。）

说完了正数加正数，那负数加负数呢？

3.负数加负数：负数加负数一定等于负数。首先加一个负数就已经在零的左边，而再加一个负数，就是又向左边跳了一些，具体的得数就是两个负数的绝对值相加，因为在0的左边，所以在前面加一个负号。

而减法在这里，我们可以把它算成加法（在前面讲过了），也可以用它本身的运算法则。

1.正数减负数：正数减负数等于加一个正数。因为负负得正，这个原理就和我们照镜子一样。在平常，我们减一个正数就是向数轴的左边跳一个数值，而减一个负数正好相反，就是从0开始，向数轴的右边加一个数值。

2.负数减负数：负数减负数，我们也可以把它算成负数加正数。因为在前面讲过的负负得正。这样就跟加法是一样的，如果被减数的绝对值大于减数，结果得负。如果减数的绝对值大于被减数，结果得正。

负数减正数：负数减正数一定等于负数，如下图：

首先向数轴左边跳一个负数，然后减正数，就是在跳到原来负数的基础上，再向左边跳正数的格数。

正数减正数：如果正数减的这个正数的绝对值大于被减数，那么结果等于负数，如果小于则反之。

下面我们说乘除法，其实，乘除法我们也可以把除法变成乘法，在学分数乘法的时候，我们学过一个分数，除以一个数，就是乘这个数的倒数，所以我们也可以把除法化成乘法。运算法则如下：

1.负数乘负数：负数乘负数等于正数，因为负负得正，如3乘-2，可以解释为3个-2相乘。而-3乘-2，则解释为-3个-2相乘，在数轴上就是3个2相乘，-3的负号就可以和-2的负号消掉。在后面我们也会经常用到这个规律。

2.负数乘正数：负数乘正数，其实我们可以这样理解，比如说-7×6，我们可以把它看成6个-7相加，6个-7相加就是向数轴左边跳7格，跳6个这样的，等于-42。

而下面的就是除法，其实除法并没有什么好说的，只要把它转化为乘法之后，就可以跟乘法相同的运算。

由此我也发现了一个规律，当我们在后面碰到混合运算的时候，可以把式子中的两个负号互相抵消，这个结论我们是站在负负得正的基础上。如果负号是奇数个，那么这个式子的结果就是负数。如果负号是偶数个，那这个式子的结果就是正数。不管怎样抵消，最后都剩一个负号。而偶数个负号刚好抵消完，就是一个正数。

之前我们学习了四则运算，分别 是加减乘除，而在学有理数的运算这一单元中，我们又新接触了一种运算，叫做乘方，比如二的三次方，就是2乘2乘2，乘三次。而在乘方中，每一部分都有他自己的名字，如下图：

而当我们读的时候，也可以把它读作，几的几次方，或几的几次幂。乘方运算是比原来的四则运算更加高级的运算，虽然说本质和乘法运算是一样的，但是形式和写法都不一样，所以他就拥有一个新名字叫做乘方运算。而在乘方运算中。我们也可以运用前面发现的规律，负数的奇次方相乘，这个数就还是负数，负数的偶次方相乘，这个数就是正数，这样会好算很多。那么，乘方真正的用处到底在哪里呢？

我们可以用科学计数法来表示大数，之所以要用科学记数法表示是因为这样表示会更简便，在不管是读和写的领域都是一样的。这也是运用乘方的原理。科学计数法规定，前面的数要大于1小于10，而为什么要大于1小于10呢？因为这样就可以固定在一个范围内，否则有无数种表示方法。后面乘的数要是10的n次方。到底是几次方呢？就要看后面有几个零，比如有3个0就是3次方，还要看小数点的移动位数，向前移动一位就是多一次方，向右就是少一次。如下图：

而在未来，我们也许会学习开跟，拓展更多的关于乘方的内容，敬请期待

其实在之前我们一直学习的都是有理数，现在不过是把它扩展到了负数的领域，又增加了一个新的乘方运算。有理数的运算在生活中是非常常用的，一定要理解并且熟练的运用哦

三、有理数运算2

2000*(199919991999/200020002000)+(2000*1999-2001*1998)/(2000*2000-2001*1999)
=(199919991999/100010001)+(2/1)
=1999+2
=2001